数与代数之序数讲解（数与代数之进位）

数与代数之序数讲解（数与代数之进位）(1)建立好10的概念，体会数学的抽象性与符号性的好处 整数的计数方法是十进制计数法，学生了解十进制计数法对理解整数的意义有重要的作用。十进制计数法的主要内容有两部分：一是计数单位间的关系---每相邻两个计数单位间的进率是10；二是计数法的位值原则---数位上的数是几，就表示有几个这样的单位。 为了记录较大数量的数，人们发明了进位制。以p个数组成一个新的单位，p个新单位又组成一个更高的单位，这叫p进制，p叫作进位的基。其中“十进制”就是当数到10时给出一个新单位“十”，数到10个十时给出一个新单位“百”，而数到10个百时给出一个新单位“千”……正所谓“逢十进一，退一当十”。 首先，现在与人们日常生活密不可分的十进位值制，就是我国的一大发明。最迟在商代时，我国已采用了十进位值制，但尚无位值制的概念。从现已发现的商代陶文和甲骨文中，可以看到当时已能够用一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百

一．概念描述

现代数学：进位制是数的进位法则。在记数和读数时，按照确定的法则，自右向左完成两个相邻数位之间的进位，而各个数位上的单位，又都等于它右边相邻数位上单位的固定整倍数，这种确定数的进位法则称为进位制，而这个固定的整倍数，就称为进位制的基数，也称为进位制的底数或进位制的进率。进位制的基数可以是1以外的任何自然数。采用不同的基数，就得到不同的进位制。基数是10，2或8时，分别沉为十进位制，二进位制或八进位制。现在世界各国（包括中国在内）通用的是十进位制，但在数字领域通用的是二进位制。

小学数学：2005年北京版教材第7册的第5页显示：每相邻两个计数单位之间的进率都是十，这就是十进制计数法。并在“知识窗”中介绍了我国古代的十进制计数法和计算机采用的二进制计数法。2006年人教版教材四年级上册的第20页指出：每相邻两个计数单位之间的进率都是十，这种计数方法叫作十进制计数法。同时，教材中有“数的产生”和“十进制计数法”两个内容。

二．概念解读

为了记录较大数量的数，人们发明了进位制。以p个数组成一个新的单位，p个新单位又组成一个更高的单位，这叫p进制，p叫作进位的基。其中“十进制”就是当数到10时给出一个新单位“十”，数到10个十时给出一个新单位“百”，而数到10个百时给出一个新单位“千”……正所谓“逢十进一，退一当十”。

首先，现在与人们日常生活密不可分的十进位值制，就是我国的一大发明。最迟在商代时，我国已采用了十进位值制，但尚无位值制的概念。从现已发现的商代陶文和甲骨文中，可以看到当时已能够用一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万等十三个数字，记十万以内的任何自然数。这些记数文字的形状，在后世虽有所变化而成为现在的写法，但记数方法却从没有中断，一直被沿袭，并日趋完善。十进位值制的计数法是古代世界中最先进、科学的计数法，对世界科学和文化的发展有着不可估量的作用。

三．教学建议

整数的计数方法是十进制计数法，学生了解十进制计数法对理解整数的意义有重要的作用。十进制计数法的主要内容有两部分：一是计数单位间的关系---每相邻两个计数单位间的进率是10；二是计数法的位值原则---数位上的数是几，就表示有几个这样的单位。

(1)建立好10的概念，体会数学的抽象性与符号性的好处

数字是用来表示生活中各种不同的数量的，每一个不同的数量，都用一个不同的符号（数字）来表示。当数量从9增加1到了10，按理应该用一个新的符号来表示，但这样一来，如果每一个不同的数量，都用一个不同的符号（数字）来表示，就需要有无限多的符号。前人在9的后面用10表示，没有创造使用新符号，而是例行了一个数位，十位上的“1”就代表1个十，这样就方便多了。1个十和几个一是十几，就有了11，12，13......这就是位值制的基础。这样，从0到9十个数字就可以表示出生活中无限多的物体的个数。这个创造可以让学生从中体会到数学的抽象性与符号性的好处。所以，教学中建立好10的概念非常重要。

(2)按单位数数，感受两个相邻计数单位间的进率都是10

为帮助学生了解十进制计数法，可以通过一个单位、一个单位地数，逐步建立新的计数单位。学生在学习万以内数的时候，就要明确地知道，10个一是一十、10个十是一百、10个百是一千、10个千是一万，即10个单位就是一个相邻的较大单位。学习比万大的数，可以一边数一边接受10个万是十万、10个十万是一百万、10个百万是一千万，从而引出了新的计数单位十万、百万和千万。一千万一千万、一亿一亿、十亿十亿地数，就可以教学计数单位亿、十亿、百亿和千亿。在一个单位、一个单位地数的活动中，学生可以充分体会每数满10个单位就产生一个新的计数单位，感受两个相邻计数单位间的进率都是10。

(3)不断扩展数位顺序表，加深理解十进制计数法

随着认识的数越来越大，教师应不断扩充、完善数位顺序表。从认识11-20的数起，教师就可以让学生了解个位和十位；认识百以内数时，教师要及时补充认识百位；在认识万以内数时，可以第一次出现数位顺序表：在认识整数的最后一个单元里，可以让学生认识万级和亿级的数以及比亿更大的数。数值顺序表可以分两次扩展一先扩展到万级，把十万、百万、千万这三个计数单位引上计数器，了解个、十、百……千万在计数时的排列顺序；然后让学生在数位顺序表里填写十万位、百万位和千万位，通过填写知道从个位到千万位的数位顺序，初步把这些数位分成个级和万级；然后再扩展到亿级，而顺序表里的内容也丰富了，有数级、数位和计数单位。对此，教材通常把亿级及相关的数位、计数单位都留给学生填写，让他们知道数级、数位和计数单位间的对应关系。在整理了数位顺序表后，还应通过“每相邻两个计数单位之间有什么关系”这个问题，概括地讲述十进制计数法。

四．推荐阅读

《听吴正宪老师评课》（吴正宪，武维民，范存丽，华东师范大学出版社，2012）

该书的第11-19页通过评王欣老师执教的“1000以内数的认识”阐述了如何在有效的学习活动中建立数的概念。