数学多种方法计数（有温度的数学）

数学多种方法计数（有温度的数学）可见运用乘法原理，“分步”思考是必须的，对于直接运用乘法原理即可解决的简单问题来讲，“分类”可说可不说。等到进一步解决更为复杂的、有限制条件的排列组合问题时，“分类讨论”就显示出必要性了。由于乘法是同数连加的简便运算，因此最终的结果也可以用“分类”的思路来陈述：路线的选择分成两类，一类选择1号路线，另一类选择2号路线。显然，加法原理强调“分类”，因此又叫做“分类计数原理”；乘法原理强调“分步”，因此又叫做“分步计数原理”。问题一：完成从雪儿家到广州出发那天有多少不同的选择这件事：有三种交通工具选择，每种交通工具分别有2班、5班、3班，共（2 5 3）种选择。问题二：先从宾馆到超市有2种选择，再从超市到广州塔，有3种选择，所以一共有（23）种选择。

“搭配”本是生活用语。最开始在“教师教学用书”描述例题时出现衣服的“搭配”问题。而后在各种公开课展示课中，以及不同版本的同类问题被众多名师和教师演绎。就像“可能性”特指“概率”一样，“搭配”最后演变成了课题名称，在小学阶段特指有关排列组合的计数问题。但是我们更应该关注“搭配”的数学本质，而不能忘了知识背后承载的“初衷”。

关于“搭配”问题所蕴含的数学思想，我们首先想到的是分类思想。其实，排列组合作为组合数学的基础知识，最基本的数学思想方法应该是计数原理。

一是加法原理：完成一件事有几类方法，那么完成这件事的方法总数等于各类方法数的和。

二是乘法原理：完成一件事必经几个步骤，那么完成这件事的方法总数等于各步骤方法数的积。

显然，加法原理强调“分类”，因此又叫做“分类计数原理”；乘法原理强调“分步”，因此又叫做“分步计数原理”。

问题一：完成从雪儿家到广州出发那天有多少不同的选择这件事：有三种交通工具选择，每种交通工具分别有2班、5班、3班，共（2 5 3）种选择。

问题二：先从宾馆到超市有2种选择，再从超市到广州塔，有3种选择，所以一共有（23）种选择。

由于乘法是同数连加的简便运算，因此最终的结果也可以用“分类”的思路来陈述：路线的选择分成两类，一类选择1号路线，另一类选择2号路线。

可见运用乘法原理，“分步”思考是必须的，对于直接运用乘法原理即可解决的简单问题来讲，“分类”可说可不说。等到进一步解决更为复杂的、有限制条件的排列组合问题时，“分类讨论”就显示出必要性了。

最后通过理一理，把问题一和问题二对比，清晰的看到加法原理和乘法原理的区别。从“枚举”到发现规律后转向“推理”，用计算得出“总数”，这个过程就是在引导学生用数学的思维解决问题。

从《生本学材》的安排线索我们可以看出，小学教学“搭配”问题所渗透的数学思想主要是计数原理，所采用的基本数学方法是枚举。这是由排列组合知识的特点决定的。

如果再深入挖掘，相对而言较为重要的数学思想方法应该是“抽象”。例如，不论是先2条路配后面3条路还是2件衣服配3条裤子，或是2种饮料配3种面包，搭配方案的总数都是23。反过来，23还可以是其他各式各样事物的搭配方案总数。这样的抽象概括是小学生能够理解并能加以应用的。

现有教材对乘法原理的渗透关注比较多，对加法原理的渗透讨论较少，或者说两种计数原理比较不明显，没有刻意加以区分，《生本学材》在同一情景下呈现两种计数原理，虽然难度有所降低，但增强了学生对两种计数原理的区分，从生活原型出发，感悟渗透生活中的排列组合，不失为“到位”而不“越位”教学尝试。