化归思想国内外研究（化归转化思想）

化归思想国内外研究（化归转化思想）二、解题策略化归转化的实质是把新知识转化为旧知识，把未知转化为已知，把复杂问题转化为简单问题。当我们遇到一个较难解决的问题时，不是直接解原题目，而是将题进行转化，转化为一个已经解决的或比较容易解决的数学题，从而使原题得到解决。知识全解一、化归转化思想的概念在解答某一个难以入手或希望寻求简捷解法的数学题时，我们的思维就不应停留在原题上，而将原题转化为另一个比较熟悉、比较简易的问题，通过对新问题的解决，达到解决原问题的目的，这就是解答数学题的化归转化思想。

提要

化归转化是数学解题的一种极其重要的数学思想，贯穿了数学解题与数学研究的始终。初中数学里，运用化归转化的数学思想处理问题的例子比比皆是。例如，通过去分母把分式方程转化为整式方程求解，通过将把一元二次方程转化为一元一次方程求解，通过消元把三元一次方程组或二元一次方程组转化为一元方程求解，通过换元把复杂的问题转化为简单的问题求解……显然，“转化”揭示了解题的本质。

知识全解

一、化归转化思想的概念

在解答某一个难以入手或希望寻求简捷解法的数学题时，我们的思维就不应停留在原题上，而将原题转化为另一个比较熟悉、比较简易的问题，通过对新问题的解决，达到解决原问题的目的，这就是解答数学题的化归转化思想。

化归转化的实质是把新知识转化为旧知识，把未知转化为已知，把复杂问题转化为简单问题。当我们遇到一个较难解决的问题时，不是直接解原题目，而是将题进行转化，转化为一个已经解决的或比较容易解决的数学题，从而使原题得到解决。

二、解题策略

应用转化思想要注意以下几点：①转化后的问题要比原问题更容易、更简单；②转化后的问题应该是己知数学的问题，这样才有利于应用已有的知识与经验解决问题；③转化是有条件的，如解方程时要防止转化后出现增根或失根等。

在平时的学习中，要善于观察，挖掘数学问题的内在联系，要注意知识间的联系与演变，不断开拓思路，不断收集，积累联想，转换的实例，把新知识与认识结构中已有的知识建立起实质性的联系。只有这样才能合理，快速，准确地进行转化“巧妙”才能显得自然。

经典例题

类型1 高次向低次的转化

类型2 多元转化为一元

例2 若x:y:z=1:2:3 且3x 4y-5z=16 则x-3y 2z的值是多少？

【解析】设x=k，则y=2k z=3k，代入3x 4y-5z=16得3k 8k-15k=16 解得k=4。

从而x= -4，y=-8，z=-12

∴x-3y 2z= -4-3×(-8) 2×(-12)= -4

【点评】解决有关连比的问题时，常见的思路是设其中的一份为k 然后用k替换题目中的未知数，从而把多元问题转化为一元问题获得解答，

类型3特殊与一般的转化

例3 如图（1）所示，正方形OCDE的边长为1，阴影部分的面积记作S1；如图（2）最大圆半径r=1，阴影部分的面积记作S2，则S1___S2(用“>” “<”或“=”填空)

【解析】把图(1)中的阴影部分沿对角线OD对折，则两个阴影拼在一起组成矩形ACDF 因为正方形OCDE的边长为1，所以正方形的对角线长√2、所以OA=√2，S1=S矩形=√2-1；把图(2)中的阴影部分通过旋转即可拼在一起组成1/4圆，故S2=π/4。所有S1<S2。

【点评】本题通过将图形（或部分）进行旋转或翻折，使图形特殊或图形的位置特殊，进而简捷求解．

类型4 分散转化为集中

例4 如图所示，在反比例函数，y=2/x(x>0)的图象上，有点P1、P2、P3、P4，它们的横坐标依次为1、2、3、4，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1、S2、S3，则S1 S2 S3=____

【解析】由题意及图象可知，3个阴影长方形的长都为1，设P1(1，y1)，P2(2 y2) P3（3，y3），P4(4，y4) 代入y=2/x(x>0)可求得y1=2 y2=1，y3=2/3 y4=1/2，所以S1 S2 S3=1×(y1-y4)=1×(2-1/2)=3/2

【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，把分散的带阴影的几何图形集中起来，问题便迎刃而解了。

真题演练

例1 利用化归转化思想求立体图形表面两点间的最短距离问题

如左图所示，圆柱形容器高18cm．底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时已知蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为____cm

【点评】本题考查圆柱的侧面展开图，轴对称以及勾股定理的应用。关键是在长方形上找出蚂蚁行走的路径，通过“化曲面为平面”，据“两点之间线段最短”得出最短路径，然后构造出直角三角形，利用勾股定理进行解决。

例2 利用化归转化思想求圆中阴影部分面积问题

如图所示，菱形ABCD的边长为2，∠A=60度，以点B为圆心的圆与AD DC相切，与AB、CB的延长线分别相交于点E F，则图中阴影部分的面积为（）

A．√3 π/2 B．√3 π C．√3-π/2 D.2√3 π/2

【点评】求圆中阴影部分的面积一般都通过转化，将不规则的阴影部分转化为规则图形的面积和（或差）．

例3利用化归转化思想解决动态问题

如图1所示，形如量角器的半圆O的半径OE=3cm，形如三角板的△ABC中∠ABC=90度，AB=BC=6cm，△ABC以2cm/s的速度从左向右匀速运动（点B运动到E点时，运动停止），在运动过程中，点A、B始终在直线DE上，设运动时间为t (s)，当t=0时，△ABC在半圆O的左侧，BD=1cm。

【解析】(1)由题意可得：BO=4cm t =4/2=2 (s)

(2)如图2所示，设AC切半圆O于点H，连接OH 则OH⊥AC

∵∠A=45度，∴AO=√2OH=3√2(cm)

∴AD=AO-DO=3√2 -3 (cm)

(3)如图3所示，连接EF.

∵OD=OF，∴∠ODF=∠OFD

∵DE为直径，

∴∠ODF ∠DEF=90度，∠DEC=∠DEF ∠CEF=90度

∴∠CEF=∠ODF=∠OFD=∠CFG

又∵∠ FCG=∠ECF

∴△CFG∽△CEF，∴CF/CG=CE/CF

【点评】解决动态问题的一般思路是“动静转化---动中取静，以静制动”。