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微积分函数极限例题讲解(菜鸡速通微积分)

微积分函数极限例题讲解(菜鸡速通微积分)现在,重点来了。不难,但请别读太快。epsilon-N语言来了。先把这一列数,画出来。回来继续说。如果一系列数,最终能趋于一个数,就说那个数是数列的极限。记号在上面图里面最后一行,如果极限是实数L,那么就写这就得到一个序列,因为这一坨东西,每一个都是数,并且可以说第一个数、第二个数......要理解,这实际上是一个映射,或者说函数,也就是用全体自然数,给特定的一坨数,贴上唯一的标签。你如果恰好懂“可列”这个词,那就太好了。如果不懂,暂时影响也不大;可以看本鸡的拙作“菜鸡速通微积分:自然数、有理数、奇数等等都一样多!一句话的事”。提这件事的目的在于,让你体会,数列的极限与函数的极限,基本上是一回事。现在我们避开讨论一个困难的问题,就是你到底能不能写出来,实际上你写不出来,重要的是,你写不出来也不要紧。π只是一个符号,代表着圆周率。所有的无理数你都不知道确切的数值,但是无理数一定有其存在的意义

大家好!感谢阅读本鸡的拙作。

本文专为初学微积分的选手选手设计,需要复习微积分概念的,也很适合。

没有晦涩的证明,只说人话。

一个例子基本上可以说明数列所有的事,定义和极限存在法则。现在想想pi,圆周率。你肯定能写出来十进制表达式π=3.1415926........。现在你这样写,先写3.1,再写3.14,.......

微积分函数极限例题讲解(菜鸡速通微积分)(1)

这就得到一个序列,因为这一坨东西,每一个都是数,并且可以说第一个数、第二个数......

要理解,这实际上是一个映射,或者说函数,也就是用全体自然数,给特定的一坨数,上唯一的标签。你如果恰好懂“可列”这个词,那就太好了。如果不懂,暂时影响也不大;可以看本鸡的拙作“菜鸡速通微积分:自然数、有理数、奇数等等都一样多!一句话的事”。提这件事的目的在于,让你体会,数列的极限与函数的极限,基本上是一回事

现在我们避开讨论一个困难的问题,就是你到底能不能写出来,实际上你写不出来,重要的是,你写不出来也不要紧。π只是一个符号,代表着圆周率。所有的无理数你都不知道确切的数值,但是无理数一定有其存在的意义:比如圆周率就是圆周长除以半径,这是比率的意思。

回来继续说。如果一系列数,最终能趋于一个数,就说那个数是数列的极限。记号在上面图里面最后一行,如果极限是实数L,那么就写

微积分函数极限例题讲解(菜鸡速通微积分)(2)

现在,重点来了。不难,但请别读太快。epsilon-N语言来了。先把这一列数,画出来。

微积分函数极限例题讲解(菜鸡速通微积分)(3)

仔细看图。

马上可以说单调收敛准则:数列单调有界必收敛。

现在,明摆着,虽然不知道π的具体值,但是,这个数列,最后的确会趋于π。原因是,比方说,如果你只观察到第二项,那么可以说π在3.1和3.15之间;观察到第三项以后,就可以说π在3.14和3.142之间,以此类推。后面说成是夹逼准则。


这样就能抽象出来几件事:

1.定义。不论给定多么小的一个数,记作epsilon,总有一个自然数N(项的下标,就是第几个的意思),使得有一个实数(现在是π),与第N 1项以后所有项的数值,差别不会超过epsilon。写出来,就是:

微积分函数极限例题讲解(菜鸡速通微积分)(4)

读作:任给一个epsilon,都存在一个正整数N,使得当n>N时,an与L的差不超过epsilon。

这就是所谓epsilon-N条件---L就是极限也说数列收敛。这就是严格的数列极限定义。这里有一个很大的逻辑上的困难,最后再说。

2.定理

仍然看圆周率的图像,还有上面的表达式,就可以说,从第N 1项以后所有项,落在极限周围任意小的邻域(范围内)。你能看懂下面这个图了。

微积分函数极限例题讲解(菜鸡速通微积分)(5)

这个图告诉我们很多事

去掉数列的前面(或者随便哪些)任意有限项,不改变其收敛性”;因为除了有限项,数值都在特定范围内。

并且“收敛序列一定有界,并且最终有界”;等价的“最终无界数列不收敛”这种情况麻烦些,序列可能趋于正无穷,或者负无穷,或者不断在正负无穷这两个东西跳来跳去。

柯西准则:从N开始,任意两项差别任意小。这简直是废话。

夹逼准则:回忆分割线上面的一段,观察下面的图,明摆着三个序列都收敛到π。这就是某序列被在两个序列之间,这两个序列有相同的极限,那么就着序列an有相同的极限。

微积分函数极限例题讲解(菜鸡速通微积分)(6)

本文的主题到此结束。下面多说几句。


前面有个巨大的困难,如果你事先不能明确有个东西叫做π,那么数列收敛到什么?这里涉及两个原则性的大问题:

1.实数的分析(极限)运算性质完备性和连续性。意思是实数列如果收敛,那么极限是实数。以及,任何实数,都唯一对应着数轴上的一个点,数轴没有缝隙

你可能说,废话,谁不知道π?你可拉倒吧,世界上没让人能写出π的十进制表达式。据说有人能背出上万位,但是,只要停下来,就是有限位,这就是有理数!为了避免篇幅,不去谈稠密性。所以,如果没有事先定义好π,e,根号2,.......你根本一步都走不了。

2.实数的代数运算性质,你要谈四则运算法则,以及分配律。这里说的就是三件事:实数关于加法是Abel群,除去0以后对乘法也是Abel群,乘法对加法有左右分配律。极限也要做代数运算,比如极限的和差积商。

此外,实数还必须能够比较大小,否则你不能使用不等式来说事。

一句话,”实数集是具有上确界性质的有序域“。这就是是微积分绝对的基础;类似的,复数集也类似有完备性域性质,但有明显区别,复数不能直接比较大小。这是复分析的基础。因此,真正有水平的书,都会花大力气,从逻辑上定义实数。比如

微积分函数极限例题讲解(菜鸡速通微积分)(7)


素材还取自J.stewart的书,

微积分函数极限例题讲解(菜鸡速通微积分)(8)

以及同济高数。

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