数学金字塔题解题技巧（34铺）

数学金字塔题解题技巧（34铺）"铺地锦"的前身是"格子乘法"，这种方法最早记载在1150年印度数学家婆什迦罗的《丽罗娃提》一书中，12世纪以后广泛流传于阿拉伯地区 后来通过阿拉伯人传人欧洲，并很快在欧洲流行。15世纪中叶 意大利数学家帕乔利在《算术、几何及比例性质摘要》一书中介绍的一种两个数的相乘的计算方法。格子算法介于画线和算式之间。这种方法传入中国之后，在明朝数学家程大位的《算法统宗》一书中被称为'铺地锦"。（二）神奇的古代算法之--铺地锦至此毕达哥拉斯作了大胆的假设：任何直角三角形，其斜边的平方恰好等于另两边平方之和。"勾股定理"的发现让人们的思维方式有了重大转变，它告诉人们几何与代数不是独立的两部分，两者的融合有着巨大的威力，也让更多的数学家有勇气去挖掘看似毫无关系的事物、及学科间的关系。据说当年，因为庆祝毕达哥拉斯发现了勾股定理，整个学派杀了一百头牛来庆祝这个成果的诞生。因此历史上又称这个定理为百牛定理。足见

牛顿说："每一个目标，我都要它停留在我的眼前，从第一到曙光初现开始，一直保留，慢慢展开，直到整个大地光明为止。"

爱因斯坦说："每当我的头脑没有问题思考时，我就喜欢将已经知道的定理重新验证一番。这样做并没有什么目的，只是让自己有个机会充分享受一下专心思考的愉快。"

（一）铺设地砖促成勾股定理的发现

勾股定理在西方称毕达哥拉斯定理。相传毕达哥拉斯有一次应邀参加一位富有的政要的晚餐会，这位主人豪华宫殿般的餐厅铺着美丽的正方形大理石地砖。毕达哥拉斯凝视脚下方形磁砖，他想到它们和"数"之间的关系，于是拿画笔蹲在地板上，选一块磁砖以它的对角线为边画一个正方形，他发现这个正方形面积恰好等于两块磁砖的面积和。于是他再以两块磁砖拼成的矩形之对角线作另一个正方形，他发现这个正方形之面积等于5块磁砖的面积，也就是以两股为边作正方形面积之和。

至此毕达哥拉斯作了大胆的假设：任何直角三角形，其斜边的平方恰好等于另两边平方之和。

"勾股定理"的发现让人们的思维方式有了重大转变，它告诉人们几何与代数不是独立的两部分，两者的融合有着巨大的威力，也让更多的数学家有勇气去挖掘看似毫无关系的事物、及学科间的关系。

据说当年，因为庆祝毕达哥拉斯发现了勾股定理，整个学派杀了一百头牛来庆祝这个成果的诞生。因此历史上又称这个定理为百牛定理。足见当时的学派人士是多么心思若狂。

（二）神奇的古代算法之--铺地锦

"铺地锦"的前身是"格子乘法"，这种方法最早记载在1150年印度数学家婆什迦罗的《丽罗娃提》一书中，12世纪以后广泛流传于阿拉伯地区 后来通过阿拉伯人传人欧洲，并很快在欧洲流行。15世纪中叶 意大利数学家帕乔利在《算术、几何及比例性质摘要》一书中介绍的一种两个数的相乘的计算方法。格子算法介于画线和算式之间。这种方法传入中国之后，在明朝数学家程大位的《算法统宗》一书中被称为'铺地锦"。

"铺地锦"算法计算顺序如下：

1.先画一个矩形，把它分成m×n个方格（m，n分别为两乘数的位数），在方格上边、右边分别写下两个因数。

2.再用对角线把方格一分为二，分别记录上述各位数字相应乘积的十位数与个位数。

3.然后这些乘积由右下到左上，沿斜线方向相加，相加满十时向前进一。

4.最后得到结果（方格左侧与下方数字依次排列）。

1494年意大利数学家巴切利﹝1445 - 1514﹞介绍了八种乘法。第六种就是方格乘法。方格乘法法约于十五世纪传入中国，形如中国古代织出的锦缎．因此中国的劳动人民给这种计算格式起了一个很形象的名字——"铺地锦"，记录在明朝著名的算术著作《算法统宗》当中。

那么，什么是"铺地锦"呢？

以下方左图为例：把第一因数46写在格子图的上面，第二因数75写在格子图的右面，然后，6×7=42的42写在6下面的方格里，十位4写在斜线的上面，个位2写在斜线的下面，同样道理把4×7=28；6×5=30；4×5=20分别写在格子里，如图。然后从最右边起把同一斜线里面的数全部加起来，如最右面的斜线只有一个0就在斜线末端写0；第二斜线里面有2、3、0加起来等于5就在末端写5，第三斜线里面有4、8、2加起来等于14就在末端写4把10进位到第四斜线；第四斜线里面有2加上进来的1等于3就在末端写3。最后就按照从左到右和从上到下的顺序依次写下来3450，所以46×75=3450。

是不是很神奇呢？大家来试着计算一下357*46试试看吧。

又如要计算342×27，被乘数与乘数分别有3个与2个有效数字。就可以画一个三列二行（竖的叫列，横的叫行）的方格，并画出一系列的对角线。在方格上方写上被乘数342，每个方格上写一个数字，右方从上列下写出乘数27，然后就开始相乘：先用2分别乘以3、4、2，得到6、8、4，把这三个数字分别填在与被乘数、乘数的对应数字对齐的方格中，均填在下半格。再用7分别乘3、4、2，得出21、28、14，把这三个数依次填在相应的格子中。各个积的个位数字填在右下的半格中，十位数字填在左上的半格中，填完后，按斜线，把每两条斜线间夹的数字分别相加，和写在格子外的相应位置。如和超过10，则格子外只记和的个位数字，而和的十位数字则在上一斜线间补记上。（如图中加圈的两个数字）在上一斜线间数字求和时，这些补记的数字也要加进去。全部加完后，从左上到右下沿格子外读数，即是所求积，即342×27＝9234。

（三）数学与艺术的完美结合——奇妙的密铺

1.蜂房中的数学

蜜蜂的蜂房是正六棱柱的形状，它的底是由三个全等的菱形组成的。为什么是这种形状?这到底有什么好处呢?

法国的学者马拉尔狄曾经观察过蜂房的结构，他测量后发现，每个蜂房的体积几乎都是0.25厘米³。底部菱形的锐角是70°32′，钝角是109°28′ 蜜蜂的工作竟然是这样的精细。物理学家列奥缪拉也曾研究了这个问题，他想推导出:底部的菱形的两个互补的角是多大时，才能使得蜂房的容量达到最大，他没有把这项工作进行下去。苏格兰的数学家马克劳林通过计算得出了与前面观察完全吻合的数据。其实，早在公元4世纪，数学家巴普士就用严格的证明告诉我们:正六棱柱的蜂房是一种最经济的形状，在其他条件相同的情况下，这种结构的容积最大，所用的材料最少。因此，达尔文称赞蜜蜂的建筑艺术，说它是天才的工程师。现在，许多建筑师开始模仿蜂房的结构，并把它们应用到建筑的实践中去。

2. 所有平面图形都能密铺吗

密铺，也称镶嵌，是生活中非常普遍的现象，它给我们带来了丰富的图形变化和美的享受。什么样的图形能够满足这样的条件？

对于正 n 边形，可以分成 (n-2) 个三角形，内角和是 (n-2)*180 度，一个内角的度数是 (n-2)*180÷n 度。若(n-2)*180÷n能整除360，那么就能用它来密铺平面，否则不能用于密铺。如此看来，只有三种正多边形可以平面密铺（这就是为什么只有这三种瓷砖）：正三角形；正四边形；正六边形。而正五边形不能用于平面密铺。

1619年，数学家奇柏第一个利用正多边形铺嵌平面。

1891年，苏联物理学家费德洛夫发现了17种不同的铺嵌平面的对称图案。

1924年，数学家波利亚和尼格利重新发现了这个事实。

密铺图形奇妙而美丽，古往今来，不少艺术家都在这方面进行过研究，最富趣味的是荷兰艺术家埃舍尔。他到西班牙旅行参观时，对一种名为阿罕拉的建筑物有很深的印象。这是种13世纪的皇宫建筑物， 其墙身、地板和天花板由摩尔人建造，而且铺了种类繁多、美轮美奂的马赛克图案。他用数日的时间复制了这些图案，并得到了启发，创造了各种并不局限于几何图案的密铺图案。这些图案包括人、青蛙、鱼、鸟、蜥蜴，甚至是他凭空想象的物体。他创作的艺术作品，结合数学与艺术，给人留下深刻的印象，更让人对数学产生了另一种看法。

两种或两种以上的平面图形能够密铺吗?我们从上面埃舍尔的作品中已经找到答案了。看看我们学生的作品吧!

在现代生活中，镶嵌艺术也十分常见。下面看几幅镶嵌图案。

3. 凸五边形密铺地面的故事：五个孩子的妇女发现了13种五边形密铺

关于用凸五边形铺砌平面的问题，经过1918年数学家莱哈特的观点和1968年克什纳的观点，数学界普遍认为只有8种方案，这似乎已经成了定论。

1975年，美国人马丁·加德纳在《科学美国人》这本杂志上开辟了关于镶嵌图案的数学游戏专栏，许多数学家和业余数学爱好者都参加了讨论。其中有一位名叫玛乔里·赖斯的家庭妇女是最热情的参予者之一。赖斯是五个孩子的妈妈，1939年中学毕业前只学过一点简单的数学，没有受过正规的数学专业教育。她除了研究正多边形的拼镶问题以外，还研究了一般五边形。她独立地发现了一种五边形，并且向加德纳报告了这一发现："我认为两条边长为黄金分割的一种封闭五边形可以构成令人满意的布局。"加德纳充分肯定了赖斯的研究成果，并把她介绍给一位对数学与艺术的和谐具有职业兴趣的数学家多里斯·沙特斯奈德。在沙特斯奈德的鼓励下，赖斯又发现了解决拼镶问题的另外几种五边形，而使这样的五边形达到13种。

赖斯的家务很忙，但这没有影响她研究的热情。她对人说："在繁忙的圣诞节，家务占踞了我大量的时间，但只要一有空，我便去研究拼镶问题。没人时，我就在厨房灶台上画起图案来。一有人来，我就急忙地把图案盖上。因为我不愿意让别人知道我在研究什么。"

在数学史的长河中，也许玛乔里的发现仅仅是是一小朵浪花，算不了什么。但这并不重要，用奥运会的话说，就是：重要的是参与。参与，就能有所得，参与，就能得到数学美的回报，参与，就是幸福。

现在附有十四种可以铺就平面的凸五边形，供同学们研究与探索。

十四种五边形的角、边关系及图样

（表中A、B、C、D、E分别表示五边形的五个角，a、b、c、d、e分别分别表示五边形的五条边）

以上是我多年前收集的14种图样的情况。

为什么没有人能提前发现这种新的密铺方式？能够看出，人类有限的枚举和计算能力，限制了进一步发现更多密铺方式。借助计算机的枚举，数学家得到了最新的第15种平面密铺，为什么说这第15种很重要，我想原因也在于其结构的复杂性和将计算机程序引入枚举工作的新思想。感谢数学家和计算机的辛勤工作，让我们看到了这个美丽的图形。目前为止，已发现的15种平面密铺图形样式如下：

动手做，在操作中回归数学本源，实践证明，学生可以通过实践操作将抽象的知识具象化，让无形知识变得"看得见"、"摸得着"，从而提高学习主动性，激发自主探索的内在动力。这种习惯的养成是一个潜移默化的过程，对日后孩子养成良好学习习惯具有积极的推动作用。