曲面会发生非常明显的什么现象（经过数十年的探索）

曲面会发生非常明显的什么现象（经过数十年的探索）这意味着想要真正理解曲面空间的数学家需要找到方法来发现他们甚至不知道存在的物体。达勒姆大学数学家迈克尔·马吉证明了一个可以追溯到1984年的关于复杂曲面的猜想简单曲面不是问题所在。在这种情况下，“简单”表示曲面上有少量的孔，或“属”较低例如，球体没有孔，因此其规格为零；甜甜圈有一个。但当属数很高时，直觉就会使我们失望。当密歇根大学数学家亚历克斯·赖特（AlexWright）试图想象一个高属曲面时，他最终得到了排列整齐的孔。他说：“如果你想让我更有创造力，我可以把它围成一个有很多洞的圆圈。我很难想出任何与这些完全不同的心理图景。”。但在高属曲面中，孔洞以复杂的方式相互重叠，使其难以把握。赖特说，一个简单的近似值“在任何意义上都远没有代表性”。布里斯托尔大学数学家劳拉·蒙克说，这场斗争是意料之中的。她说：“你经常可以做出不好的事情。然而，做出好的事情，就像我们通常期望的是真实的事情，就有点困难

去年7月，杜伦大学（Durham University）的两位数学家威尔·希德（Will Hide）和迈克尔·马吉（Michael Magee）证实了一个备受追捧的曲面序列的存在：每一个曲面都比最后一个曲面更复杂，最终与它们自身的联系变得如此复杂，以至于它们几乎达到了可能的极限。

起初，这些表面根本不存在。但自从20世纪80年代首次提出它们的存在问题以来，数学家们逐渐意识到，这些表面实际上可能很常见，即使它们非常难以精确定位——这是数学如何颠覆人类直觉的一个完美例子。这项新的工作是朝着超越直觉的方向迈出的一步，以理解表面可以表现的无数方式。

新泽西州普林斯顿高等研究所的数学家彼得·萨纳克（PeterSarnak）说：“这是一个杰出的数学作品。”。

表面包括各种二维物体——球体、圆环或圆柱体的外壳；一条莫比乌斯长条。它们对数学和物理至关重要。但是，尽管数学家与曲面的关系可以追溯到几个世纪以前，但他们对这些物体一点都不了解。

简单曲面不是问题所在。在这种情况下，“简单”表示曲面上有少量的孔，或“属”较低例如，球体没有孔，因此其规格为零；甜甜圈有一个。

但当属数很高时，直觉就会使我们失望。当密歇根大学数学家亚历克斯·赖特（AlexWright）试图想象一个高属曲面时，他最终得到了排列整齐的孔。他说：“如果你想让我更有创造力，我可以把它围成一个有很多洞的圆圈。我很难想出任何与这些完全不同的心理图景。”。但在高属曲面中，孔洞以复杂的方式相互重叠，使其难以把握。赖特说，一个简单的近似值“在任何意义上都远没有代表性”。

布里斯托尔大学数学家劳拉·蒙克说，这场斗争是意料之中的。她说：“你经常可以做出不好的事情。然而，做出好的事情，就像我们通常期望的是真实的事情，就有点困难了。”。

达勒姆大学数学家迈克尔·马吉证明了一个可以追溯到1984年的关于复杂曲面的猜想

这意味着想要真正理解曲面空间的数学家需要找到方法来发现他们甚至不知道存在的物体。

在他们7月份的论文中，Hide和Magee正是这样做的，证实了数学家几十年来一直想知道的曲面的存在。他们证明的猜想，以及围绕它的历史，从另一个数学领域获得了灵感：图论。

最大可能值

对于数学家来说，图是由点或节点组成的网络，通过线或边连接。早在1967年，安德烈·科尔莫戈罗夫（AndreyKolmogorov）等数学家就在研究连接两个节点所需成本的网络。这导致了一个后来被称为扩展图的示例：一个保持低边数，同时保持节点之间高连通性的图。

扩展图已经成为数学和计算机科学中的重要工具，包括在密码学等实际领域。与设计良好的公路系统一样，这些图可以轻松地从一个节点移动到另一个节点，而无需用边覆盖整个图。数学家喜欢通过规定每个节点只能有三条边来限制边的数量，比如说，每个节点只能有三条边，就像你可能不希望有更多的公路横穿你的城镇一样。

如果计算机随机选择每个节点的三条边通向何处，你会发现，尤其是当图非常大时，这些随机图中的大多数都是很好的展开器。但是，尽管宇宙中充斥着膨胀图，但人类却一次又一次地无法手工制作膨胀图。

耶路撒冷希伯来大学数学家沙伊·埃夫拉（ShaiEvra）说：“如果你想建造一个，你不应该自己画。”。“我们的想象力无法理解什么是扩展器。”

扩展或连通性的概念可以通过多种方式来衡量。一种是通过逐个剪断边将一个图形切成两大块。如果图形由两个节点束组成，且这些节点束由一条边连接，则只需剪切一条边即可将其拆分为两条。图形的连接越多，需要切片的边就越多。

获得连通性的另一种方法是在图中从一个节点漫游到另一个节点，每一步都随机选择一条边。访问graph的所有社区需要多长时间？在两个束的示例中，除非您碰巧跨过到另一半的单独连接，否则您将被限制在其中一个气泡中。但是，如果有许多方法可以让您在图表的不同区域之间旅行，那么您将在短时间内完成整个过程。

这些连通性度量可以通过一个称为光谱间隙的数字来量化。当图形完全断开连接时，光谱间隙为零，例如，如果它由两组根本没有连接的节点组成。随着图形的连接越来越紧密，其光谱间隙将越来越大。

但是光谱差距只能达到这么高。事实上，膨胀图的两个定义特征——少边和高连通性——似乎相互矛盾。但在1988年，格雷戈里·马古利斯（GregoryMargulis）和萨纳克（Sarnak）以及两位合著者分别描述了“最佳扩展器”（OptimalExpanders）——光谱间隙高达理论最大值的图形。萨纳克说：“他们的存在令人震惊。”。

后来，数学家会证明大多数大型图书都接近这个最大值。但使用最佳扩展器和随机图的工作不仅仅是找到放置边的正确位置。它需要使用从数论和概率中借用的奇怪而复杂的技术。

将这些结果应用于曲面仍然需要一种陌生的方法。

表面张力

20世纪70年代，在图论家绘制膨胀图的同时，一位名叫彼得·布瑟的瑞士几何学家正在有许多洞的曲面上玩类似的想法。它们是否可以像膨胀图那样连接良好？

与图形一样，您可以通过尝试将曲面一分为二来估计曲面的连通性，或者通过漫无目的地在曲面周围徘徊并查看访问整个曲面所需的时间来估计曲面的连通性。赖特说：“无可否认，一切都更加复杂，但直觉在每一方面都是通过的。”。

给达勒姆大学博士生威廉·希德（WilliamHide）的项目最终远比预期的更具实质性

1969年，杰夫·契格证明了表面上的光谱间隙与将表面切成两半的容易程度有关。布瑟后来加强了契格的研究结果，使光谱间隙成为一个方便的连通性晴雨表。布瑟开始想知道，随着表面变得越来越复杂，光谱间隙会发生什么变化——有许多洞的表面是否仍然可以很好地连接。

起初，他猜测，对于高属“双曲”曲面，光谱间隙必须缩小到接近零，这是一类以特定方式弯曲的重要曲面。但当他了解到膨胀图的新兴示例时，他改变了想法。“渐渐地，我明白了这不是真的，”布瑟说，他现在是瑞士洛桑联邦理工学院的名誉教授。“我只是要学习，不，不，你的直觉是错误的。”

1974年，布瑟的博士顾问发现了表面上光谱间隙的上限：略高于1/4，确切数字取决于表面上有多少孔。（孔越多，数量越少。）布瑟想更多地了解这一限制。特别是，是否有达到临界点的真实表面？最优扩张图是否有几何等价物？

1984年，Buser指出，一些具有大量孔洞的双曲面，其光谱间隙至少为3/16。在那篇论文中，他指出：“据推测，3/16可以被1/4所取代。”

近四十年来，数学家终于证明了这一说法是正确的。

也许是个好主意

Hide和Magee的项目一开始并没有试图达到1/4。2020年秋，当Hide开始成为Magee的博士生时，Magee提出了一个他认为对一个新博士生来说是一个可管理的项目：Hide将尝试复制Magee最近的一个结果，但应用于一个新的情况。

2020年春，索邦大学的Magee、Frédéric Naud和特拉维夫大学的Doron Puder发现，许多“致密”表面的相对光谱间隙接近3/16。紧凑曲面（包括球体和甜甜圈）具有两个重要特性。它们是一个有限的尺寸-不像，比如说，无限平面-并且它们没有边。布瑟在20世纪70年代和80年代的研究，以及他对光谱间隙的思考，都集中在紧凑的表面上。马吉和他的合著者梦想着将他们的结果从3/16一直移动到推测的1/4。但那里的道路似乎和1984年一样晦涩难懂。

Magee要求Hide考虑一种类似于紧凑曲面的曲面，但从中伸出细长的长矛。这些被称为尖点，它们在无限远处变得非常薄，以至于它们的表面积仍然是有限的，即使它们无限长。这使得这些曲面“有限面积非常紧”

Hide和Magee认为他们可以更新Magee早期工作中的想法，该工作涉及随机生成曲面。这类随机策略在数学中，特别是在图论中发挥了巨大的作用。它们使数学家能够对物体的典型特性有一个确切的了解。Monk说：“概率可以让你扔掉不好的例子。”。如果你计算出一个大理石是圆形的概率，得到99%，你就得到了很多关于大理石是什么样的信息，而不会被一些大理石有缺口或变形的事实所分散注意力。

但这两位数学家努力使这一策略奏效。他们不能使用随机策略对他们感兴趣的对象说任何实质性的东西。2021年春天，他们放弃了——至少放弃了几个月。

6月，Naud提出了Magee认为他和Hide可以使用的东西：1988年，Buser和两位合著者想出了一种方法，可以将有限面积的曲面操纵成紧凑的形状。

突然，希德放弃的博士项目有了新的意义。“如果你不仅可以证明3/16，还可以证明1/4，这也将解决[紧凑型]的问题，”马吉说。

Hide和Magee重新焕发了活力，用在无限面积情况下行之有效的想法武装起来，回到了他们原来的问题，他们更雄心勃勃的目标是找到一系列有限面积非紧曲面，这些曲面的光谱间距不仅接近3/16，而且接近1/4。

这一次，他们成功了，于7月12日将论文发布到了网上。

马吉说：“我给我的博士生做的这件事真的很令人惊讶，我认为这件事很简单，结果证明它真的很重要。”。“比我想象的更重要。”

所有曲面

虽然Hide和Magee解开了一个由来已久的谜团，但数学家可以从这里探索许多方向。一种可能性是试图证明存在高规格曲面，其光谱间隙实际上是最大值的1/4，而不是任意接近它。

此外，Hide和Magee的技术只适用于非常特定类型的曲面，这意味着他们计算的任何概率都只能告诉你所有曲面中的一小部分。

但是有一个模型，威尔-彼得森模型，适用于整个双曲面空间，研究人员已经在这方面进行了研究，最著名的是玛丽亚姆·米尔扎卡尼。Monk说，她在这个模型上的工作“是一场创造整个领域的彻底革命。”然而，威尔·彼得森的方法仍然停留在3月16日。

数学家说，无论未来如何，隐藏魔法的结果本身值得庆祝。卢森堡大学数学家雨果·帕利尔（HugoParlier）表示：“我们要求得到的是通常难以发现的物体的非常精确的结果。这非常困难。”。“我认为我们应该更惊讶于这样一个事实，即我们能够对如此精确的[光谱差距]说任何话。”