整数的计数单位看哪一位（数的表示计数与进位）

整数的计数单位看哪一位（数的表示计数与进位）第一步抽象：计数 从人类的发展历程来分析，十进制计数系统的抽象过程，经历了计数，符号两个层次的抽象。 “在欧洲某地庄园的望楼上有一个乌鸦巢，里面住着一只乌鸦。主人打算杀死这只乌鸦，可是几次都没有成功，因为他一走进这个望楼乌鸦就飞走，栖在远远的树上，直到他离开望楼才飞回来。后来他想了一个聪明的办法：两个人一起走进望楼，一个人出来，一个人留在里面。可是乌鸦不上当，直到第二人离开望楼才飞回来。主人不死心，连续试验了几天：三个人，四个人都没有成功。最后用了五个人，四个人走出来，一个人留在里面，现在乌鸦分辨不清了，飞了回来。” 对于数量多少的感知，人应当强于乌鸦，不论乌鸦有多么聪明（据心理学的实验结果，如果不计数，人对多少的分辨也是在5左右）。由此可以推断，人类对于数量的感知可能比语言的形成还要早，但是，人类能够从数量的多少中抽象出数的概念却是非常不容易的。一些书中对此都有记载，比如《天空中的圆周率

数来源于对数量本质的抽象，数量的本质是多与少。因此，数字就是那些能够由小到大进行排列的符号。这个抽象过程经历了计数和符号两个阶段。能够形成十进制记数系统是人类的重大进步，其核心是十个符号加上位数准则。

为了讨论数的表示，就必须先讨论数量的本质，因为数是对数量的抽象，而抽象的核心工作是对本质的提炼和刻画。

一．数量的本质

我想，数量的本质应当是多与少，因为动物也能够分辨出多与少：一只狗对一只狼与一群狼的反应是不一样的。一本名为“数：科学的语言”的书中描述了一个故事，这个故事表明动物对于数量的多少具有相当强的分辨能力。

“在欧洲某地庄园的望楼上有一个乌鸦巢，里面住着一只乌鸦。主人打算杀死这只乌鸦，可是几次都没有成功，因为他一走进这个望楼乌鸦就飞走，栖在远远的树上，直到他离开望楼才飞回来。后来他想了一个聪明的办法：两个人一起走进望楼，一个人出来，一个人留在里面。可是乌鸦不上当，直到第二人离开望楼才飞回来。主人不死心，连续试验了几天：三个人，四个人都没有成功。最后用了五个人，四个人走出来，一个人留在里面，现在乌鸦分辨不清了，飞了回来。”

对于数量多少的感知，人应当强于乌鸦，不论乌鸦有多么聪明（据心理学的实验结果，如果不计数，人对多少的分辨也是在5左右）。由此可以推断，人类对于数量的感知可能比语言的形成还要早，但是，人类能够从数量的多少中抽象出数的概念却是非常不容易的。一些书中对此都有记载，比如《天空中的圆周率》中提到，至今为止，一些原始部落依然没有系统的数字概念，那里的人们只能区分一，二和许多。究其原因，就是没有创造出计数系统。

二．十进制记数系统的抽象过程分析

从人类的发展历程来分析，十进制计数系统的抽象过程，经历了计数，符号两个层次的抽象。

第一步抽象：计数

大数学的文明很早就会计数了，但是，数字符号的发明可能要比文字符号的发明更晚一些。

有些人可能不同意这个意见，因为可以在甲骨文中发现许多数字。我想说的是，那些不是数字符号，也就是说，那些并不意味着已经把关于数量的感知抽象到数字符号。仔细看一下甲骨文就会发现，所以数字的背后都有着具体的背景：或者是田亩，或者是牛羊，这说明那些是关于与数量有关的事件的文字记载，或者说，是一种语言符号。在现代汉语中，有一些关于数量极其后缀名词的形式已经被根深蒂固地保留下来了，比如，一粒米，一条鱼，一只鸡，一个蛋，一匹马，一头牛，一支笔，一顶帽子，一件衣服，一条裤子等等。其中的“一”

并不是数字符号，我们只能把这些理解为与数量有关的事件的记载。一粒米与一头牛是不可同日而语的，虽然都是数量“一”的具体例子。这里需要一个更为深刻的抽象，或者说是关于数量的第二步抽象。

第二步抽象：符号

符号的表达必须摆脱具体内容，否则这种表达将不具有一般性，在这种表述基础上的计算和推理也将不具有普适性。因此，数字符号后面不能缀有名数，需要完全脱离具体的背景，否则，不可能一般地建立起关于“多少”的概念。2比1多，可是很难想象两粒米要比一头牛多。另一方面，从“多少”这一基本概念出发，可以自然而然地推导出这样一个事实：在一些东西上再加一些东西要比原来的“多”，如果数字符号后面缀有名数，则很难表现出这一事实。一粒米加上一头牛是什么呢？因此，数字符号只能是一些表示数量多少的符号，除了多少以外没有任何具体的含义，而每一个具体的事件都是这种表示的特例。

把那些所有表示数量的符号放在一起，则得到了一个集合，我们称这个集合为“数集”。从上面的推断可以知道，这个数集中的符号之间至少要满足一种关系，那便是“多少”，或者称之为“大小”。为了做到这一点，就必须在这个数集中定义一个“序”的关系，我们可以称之为“大于”。那么，数集中的任何两个符号之间都必须满足这种序关系。比如a和b是数集中的两个符号，则不是a大于b就是b大于a；如果a大于b同时b也大于a，则表示同一个符号，即a和b相等。显然，十进制的数字的集合满足这种序关系。容易验证，二进制的数字的集合也满足这种序关系。这样，我们便完成了对于数字符号的抽象：数字是那些能够由小到大进行排列的符号。

关键点一：进位

因为数量可以无限制的多，于是数字符号也应当是无穷无尽的，我们将遇到一个天大的难题：必须用无穷多个符号来表示所有的数字。聪明的人类发明了进位，有些符号可以重复使用了。如果计数规则是十进制，那么，除了一到九的符号外，再创造出十进位基数的符号：在中国是十，百，千；在古罗马相应的是X C M等等。请注意到，在这个符号系统中，五十并不是指50，而是指五个十；三万也不是指30000，而是指三个一万。因此，这是一个由语言符号系统向完全数字符号系统的过渡的符号系统，可以称为准数字符号系统。这个准数字符号系统能够相当广泛地适用于人类的日常生活，因此被沿用至今。但是这个准数字符号系统有两个致命的弱点：一是不利于运算；二是不完备。

不利于运算是很好理解的，可以翻看一下中国宋代的数学名著《数书九章》，其中关于剩余定理，关于高次方程的求解方法是当时世界数学的顶峰，但是其逻辑推理过程和计算方法的记载实在是繁杂，使人望而生畏。在欧洲也是这样，在欧洲的许多古老城市都矗立着纪念碑，上面雕刻的时间大多用的是古罗马数字符号系统，也是相当的繁杂。当然，如果我们是从美学的角度考虑，那就另当别论了。

所谓不完备，是准数字符号系统在原则上依然需要创造无穷多个不同的符号。在汉字系统中，表示数字符号最大的基数是“兆”，这是10的12次方，这确实是很大的数了，但是对于一个与信息有关的符号系统来说这却是远远不够的，今天我们随处可见的PC计算机，每分钟要处理的信息量就要大大超过这个基数。那么，如何来改善这个准数字符号系统呢？

关键点二：位数

现在只需要再进行一个小小的创造，但是为了这个小小的创造，人类用了几个世纪。这个创造就是位数准则：数字符号在不同的“位”表示基数不同的量。可以回想我们的祖先发明的算盘，在算盘中，同样多的珠在不同的位置表示的量是不同的：两个珠在个位表示二，在十位表示二十。多么巧妙地设计！可是，如何通过数字符号来表达这个功能呢？可以看到，这就像算盘中地空档一样，只需要再发明一个符号：零。

“零”是印度人发明地，用sunya表示，原意是“空”。当今很有影响地印度哲学家奥修再分析自己地民族时说，印度是一个内向型的国家，因此在印度能够产生禅宗，印度的精神能够创造出有生命力的种子，但不能够给它们提供土壤。确实如此，印度人认为“空”是一种存在，甚至是绝对的存在，在佛学或禅宗中，我们可以找到许多关于这方面的论述。

但是，在数学里，“0”是实实在在的存在，在数字符号系统中加上0，一个有效且简捷的十进制数字符号系统就建立起来了：十个符号加上位数准则。

后来阿拉伯人把这个数字符号系统带到了欧洲，于是这个数字符号系统在欧洲也流行起来，那已经是公元10世纪以后的事情了，现在人们仍然称这个数字符号系统为阿拉伯数。意大利数学家斐波那契是第一个著书向欧洲人介绍印度的十进制的，他的那本1202年出版的《算经》开始就说：

“这是印度的九个数码：9 8 7 6 5 4 3 2 1，还有一个阿拉伯人称之为零的符号0，任何数都可以表示处理。”

马克思终生喜爱研究数学，在《数学手稿》中他称赞十进制记数法是“最妙的发明之一”。关于十进制记数系统，法国数学家拉普拉斯有一段非常精彩的阐述：

“用十个记号来表示一切的数，每个记号不但有绝对的值，而且有位置的值，这种巧妙地方法出自印度。这是一个深远而又重要的思想，它今天看了如此简单，以致我们忽视了它的真正伟绩。但恰恰是它的简单性以及对一切计算都提供了极大的方便，才使我们的算术在一切有用的发明中列在首位；而当我们想到它竟逃过了古代最伟大的两位人物阿基米德和阿波罗尼斯的天才思想的关注时，我们更感到这成就的伟大了。”

可惜在那个年代，拉普拉斯对于中国还不十分了解，于是把这项发明完全归功于印度。许多史料表明，更早使用了十进制记数法的是中国，正如吴文俊所说：

“位值制的数字表示方法及其简单，因而也掩盖了它的伟大业绩。它的重要作用与重要意义，非但为一般人们所不了解，甚至众多数学专家对它的重要性也熟视无睹。而法国的数学家拉普拉斯则独具慧眼，提出算术应在一切有用的发明中列首位。中华民族是这一发明当之无愧，独一无二的发明者。这一发明对人类文化贡献之巨，纵然不能与火的发明相比，至少是可与文化史上我国的四大发明相媲美的。中华民族应以出现这一发明而引以自豪。”

人类从数量的多少中抽象出数的概念，并且用十个符号来表示，这不仅是对于数学，即便是对于人类文明的发展的贡献都是巨大的。同时，这些符号的出现也是自然的，是合情合理的，于是，人们称这个数字符号系统为自然数集，我们用N表示自然数集。

关于数，德国数学家克罗内克有一句名言：“上帝创造了自然数，其余的都是人的工作。”他一方面是在表述自然数的重要，一方面在表示对于其他“数”的理解的苦恼。后面我们将会看到苦恼之所在。