快捷搜索:  汽车  科技

七上绝对值求最小值的方法(学好绝对值)

七上绝对值求最小值的方法(学好绝对值)但是我们其实可以把|a|看作|a-0|,这样就能表示为数a的点与数0的点的距离.——写在前面一、概念辨析首先,来回忆一下绝对值的几何意义:数轴上,表示一个数的点与原点的距离,叫做这个数的绝对值.如数a的绝对值记作|a|,表示数a的点与原点的距离.

七上绝对值求最小值的方法(学好绝对值)(1)

七上绝对值求最小值的方法(学好绝对值)(2)

上一讲中,我们对相反数和绝对值的基本内容作了一个归纳,这一讲,我们对绝对值的几何意义作一个深入的剖析.因为在绝对值的知识点中,蕴含了许多重要的数学思想.

(1)分类讨论思想:绝对值化简时,要根据被化简式子的正负性来分类.

(2)整体思想:绝对值化简时,有时需要将被化简式子看作整体.

(3)数形结合思想:绝对值的几何意义中,结合数轴来了解,更加简单易懂.

——写在前面

七上绝对值求最小值的方法(学好绝对值)(3)

一、概念辨析

首先,来回忆一下绝对值的几何意义:数轴上,表示一个数的原点距离,叫做这个数的绝对值.如数a的绝对值记作|a|,表示数a的点与原点的距离.


但是我们其实可以把|a|看作|a-0|,这样就能表示为数a的点与数0的点的距离.

那么|a-5|表示什么呢?千万别说成数a-5的点与数0的点的距离.而应该看成数a的点与数5的点的距离.

不能理解的同学,我们就举最简单的例子,数10的点与数5的点的距离是多少,你肯定是知道是10-5,那这里只不过把10换成了a而已,如果a比5小,加个绝对值符号,保证距离的非负性即可,这下你明白了吧.

那么|a+5|表示什么呢?|a+5|=|a-(-5)|,表示数a的点与数-5的点的距离.

最后,你能说出|a-b|和|a+b|的几何意义吗?

七上绝对值求最小值的方法(学好绝对值)(4)

二、典型例题

1.绝对值化简求最值

例1

求|x-1|+|x-2|的最小值.

分析:

|x-1|表示数x的点与数1的点之间的距离,

|x-2|表示数x的点与数2的点之间的距离,

|x-1|+|x-2|表示数x的点与数1的点之间的距离与数x的点与数2的点之间的距离之和.


我们不妨在数轴上,设A、B、P三点对应的数分别是1、2、x.

当1≤x≤2时,即P点在线段AB上,此时|x-1|+|x-2|=PA+PB=AB=1;

七上绝对值求最小值的方法(学好绝对值)(5)

当x>2时,即P点在B点右侧,此时|x-1|+|x-2|=PA+PB=AB+2PB>AB;

七上绝对值求最小值的方法(学好绝对值)(6)

当x<1时,即P点在A点左侧,此时|x-1|+|x-2|=PA+PB=AB+2PA>AB;

七上绝对值求最小值的方法(学好绝对值)(7)

解答:

综上,当1≤x≤2时(P点在线段AB上),|x-1|+|x-2|取得最小值为1.

结论归纳:

若已知a<b,则当a≤x≤b时,

|x-a|+|x-b|取得最小值为b-a.

变式1

求|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值.

分析:

我们不妨在数轴上, 设A、B、C、P四点对应的数分别为1、2、3、x.

①当1≤x≤3时,|x-1|+|x-3|=PA+PC=3-1=2,取得最小值;

②当x=2时,|x-2|=PB=0,取得最小值;

七上绝对值求最小值的方法(学好绝对值)(8)

而要求的|x-1|+|x-2|+|x-3|=PA+PB+PC,即上面两式|x-1|+|x-3|与|x-2|之和,如果这两式能同时取得最小值,那么它们的和必然也取得最小值.

解答:

当x=2时,|x-1|+|x-2|+|x-3|

的最小值为(3-1)+0=2.

变式2

求|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值.

分析:

我们不妨在数轴上,设A、B、C、D、P五点对应的数分别为1、2、3、4、x.

①当1≤x≤4时,|x-1|+|x-4|=PA+PD=4-1=3,取得最小值;

②当2≤x≤3时,|x-2|+|x-3|=PB+PC=3-2=1,取得最小值;

七上绝对值求最小值的方法(学好绝对值)(9)

而要求的|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=PA+PB+PC+PD,即上面两式|x-1|+|x-4|与|x-2|+|x-3|之和,如果这两式能同时取得最小值,那么它们的和必然也取得最小值.

解答:

当2≤x≤3时,|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|

的最小值为(4-1)+(3-2)=4.

变式3

求|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的最小值.

分析:

我们不妨在数轴上,设A、B、C、D、E、P六点对应的数分别为1、2、3、4、5、x.

①当1≤x≤5时,|x-1|+|x-5|=PA+PE=5-1=4,取得最小值;

②当2≤x≤4时,|x-2|+|x-4|=PB+PD=4-2=2,取得最小值;

③当x=3时,|x-3|=PC=0,取得最小值;

七上绝对值求最小值的方法(学好绝对值)(10)

而要求的|x-1|+|x-2|+|x-3+|x-4|+|x-5||=PA+PB+PC+PD+PE,即上面三式|x-1|+|x-5|,|x-2|+|x-4|与|x-3|之和,如果这三式能同时取得最小值,那么它们的和必然也取得最小值.

解答:

当x=3时,|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|

的最小值为(5-1)+(4-2)+0=6.

结论归纳:

七上绝对值求最小值的方法(学好绝对值)(11)


2.绝对值化简求定值

例3

|x+1|+|x-3|=6,x=_______.

分析:

|x+1|+|x-3|表示数x的点与数-1的点之间的距离与数x的点与数3的点之间的距离之和.

显然,我们易知,当-1≤x≤3时,距离之和为4,因此,x的取值必然满足x<-1或x>3.

我们不妨以x<-1为例,结合数轴分析,设A、B、P三点对应的数分别是-1、3、x.设P、A两点距离为a,则P、B两点距离为a+4,a+a+4=6,a=1,则x=-1-1=-2,同理,当x>3时,也可求.

七上绝对值求最小值的方法(学好绝对值)(12)

解答:

x<-1,设P、A两点距离为a,则P、B两点距离为a+4,

a+a+4=6,a=1,则x=-1-1=-2,

x>3,设P、B两点距离为a,则P、A两点距离为a+4,

a+a+4=6,a=1,则x=3+1=4,

综上,x=-2或4.

例4

|x+1|-|x-3|=2,x=_______.

分析:

|x+1|-|x-3|表示数x的点与数-1的点之间的距离与数x的点与数3的点之间的距离之差.

显然,我们易知,当x<-1时,距离之差为-4,当x>3时,距离之差为4,因此,x的取值必然满足-1≤x≤3.

我们不妨结合数轴分析,设A、B、P三点对应的数分别是-1、3、x.设P、A两点距离为a,则P、B两点距离为a-2,a+a-2=4,a=3,则x=-1+3=2.

七上绝对值求最小值的方法(学好绝对值)(13)

解答:

x=2

本讲思考题

七上绝对值求最小值的方法(学好绝对值)(14)

答案请私聊作者 获取

动感数学展示

七上绝对值求最小值的方法(学好绝对值)(15)

数学名言:

新的数学方法和概念,常常比解决数学问题本身更重要。 —— 华罗庚

在数学中,我们发现真理的主要工具是归纳和模拟。 —— 拉普拉斯

数学方法渗透并支配着一切自然科学的理论分支。它愈来愈成为衡量科学成就的主要标志了。 —— 冯纽曼

在数学中最令我欣喜的,是那些能够被证明的东西。 —— 罗素宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,生物之谜,日用之繁,无处不用数学。 —— 华罗庚


七上绝对值求最小值的方法(学好绝对值)(16)

猜您喜欢: