周期规律的数学图，竟然是一种数字

周期规律的数学图，竟然是一种数字费曼图不只是漂亮的图形。它们是说明书，教我们用图中粒子的信息来计算概率。如果我们知道图中胶子和希格斯玻色子的速度和能量，我们可以尝试计算两者间虚粒子的属性。但有时候答案是不确定的。用你的手指沿着粒子路径移动，可能会画出一个闭合的圈：一条路径最终回到了起点。这样的粒子不是“输入”或“输出”：我们永远检测不到它的属性。虽然违反直觉，但这是量子力学不确定性原理的结果——我们无法同时测量粒子的两个特征，如速度和位置。量子力学告诉我们如何处理这种不确定性——我们必须将每种可能性加起来，使用你的高中数学知识（积分） 把虚粒子可能具有的任何速度和能量的概率加起来。为了进行我们这种计算，科学家长期使用一种名为费曼图的图形。这些图是物理学家理查德·费曼（Richard Feynman）在1948年发明的。假设我们想知道两个胶子合并形成希格斯玻色子的概率，我们首先要绘制代表已知粒子的线条：两个胶子进入，一个

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大型强子对撞机（LHC）是人类有史以来建造的最大机器。质子对撞时，会分裂成它们的组成部分（包括夸克和将夸克粘合在一起的胶子），并产生新的粒子。正是通过这样的过程，大型强子对撞机在2012年首次探测到了希格斯玻色子。在粒子物理学标准模型预言的粒子中，希格斯粒子曾是缺失的最后一个。现在，物理学家希望大型强子对撞机能找到一些真正全新的东西：现有理论中没有的粒子——比如能解释暗物质之谜的粒子，或者为其他挥之不去的问题提供解决方案的粒子。

当然，如果我们不知道标准模型到底预测了什么，那么所有努力都毫无用处。这就是我的研究领域。关于LHC，我们的问题都是以概率的形式出现的。两个质子相互弹射的可能性有多大？我们每隔多久能产生一个希格斯玻色子？科学家用“散射振幅”来计算这些概率，这些公式告诉我们粒子以特定的方式互相“散射”的可能性有多大。包括我在内的一群物理学家和数学家正致力于加快这些计算。我们称自己为“振幅学家”。

振幅学家认为，我们这个领域的源头可以追溯到两位物理学家的研究——斯蒂芬·帕克（Stephen Parke）和托马什·泰勒（Tomasz Taylor）。1986年，他们发现了一个描述任意数量胶子之间碰撞的简单公式，这个公式简化了原本需要逐个仔细计算的繁琐方法。但这个领域真正启动是在20世纪90年代和21世纪初，当时出现了一系列有望简化多种粒子物理计算的新方法。

如今，振幅学正在蓬勃发展。最近，我们向前迈出了一大步，超越了那些已经被我们发展为复杂技术的基本工具。我们正在进入一个新的计算领域，其能力足以跟得上大型强子对撞机不断增加的精度。有了这些新工具，我们已经准备好去检测标准模型的预测与大型强子对撞机实际数据之间的微小差异，这使得我们有望最终揭示物理学家梦寐以求的新粒子。

圈和线

为了进行我们这种计算，科学家长期使用一种名为费曼图的图形。这些图是物理学家理查德·费曼（Richard Feynman）在1948年发明的。假设我们想知道两个胶子合并形成希格斯玻色子的概率，我们首先要绘制代表已知粒子的线条：两个胶子进入，一个希格斯玻色子出来。然后，我们必须根据标准模型的规则在图中间绘制更多的粒子线条，把这三条线连接起来。这些额外的粒子可能是“虚”的：也就是说，在我们的图中，它们不像胶子和希格斯玻色子那样是真实的粒子。相反，它们是一种简便的标记，是一种追踪不同量子场如何相互作用的方法。

费曼图不只是漂亮的图形。它们是说明书，教我们用图中粒子的信息来计算概率。如果我们知道图中胶子和希格斯玻色子的速度和能量，我们可以尝试计算两者间虚粒子的属性。但有时候答案是不确定的。用你的手指沿着粒子路径移动，可能会画出一个闭合的圈：一条路径最终回到了起点。这样的粒子不是“输入”或“输出”：我们永远检测不到它的属性。虽然违反直觉，但这是量子力学不确定性原理的结果——我们无法同时测量粒子的两个特征，如速度和位置。量子力学告诉我们如何处理这种不确定性——我们必须将每种可能性加起来，使用你的高中数学知识（积分） 把虚粒子可能具有的任何速度和能量的概率加起来。

理论上，为了计算散射振幅，我们必须绘制出每一个可能连接我们粒子的图。实际上，会有无限张这样的图。好在，在实际应用中，由于大多数量子作用力的强度较低，我们得救了。当费曼图中的一组线连接起来时，表示了不同类型的粒子之间发生了“相互作用”。让粒子相互作用的是某种力，每当这种情况发生，我们都必须乘上一个与这种力的强度相关的常数。如果我们想绘制一个有更多闭合的圈的费曼图，我们必须把更多的线连起来，并乘上更多这样的常数。对于电磁作用力，相关的常数很小：每添加1个圈，你就要乘上大约1/137。这意味着图里的圈越多，它对你最终答案的贡献就越小，最终这类图的影响会小到实验根本无法检测到。关于电磁作用力的最精细实验已经精确到了小数点后10位，这是所有科学领域中最精确的测量。计算要达到这样的精度“仅”需要四个圈，乘上4个1/137这样的系数。

目前，LHC的测量精度刚刚开始与两圈计算的精度相匹配。但只考虑两个圈的计算已经够复杂了。例如，几位物理学家在2010年进行的两圈计算得出了2个胶子对撞产生4个胶子的可能性。他们使用简化的理论进行计算，并使用了一些特殊的快捷方式，但最终的公式仍然是17页的复杂积分。

这个长度不太令人惊讶，但在几个月后，另一个团队成功用两行公式写出了相同的结果。该团队是由三位物理学家马库斯·斯普拉德林（Marcus Spradlin）、克里斯蒂安·韦尔古（Cristian Vergu）和阿纳斯塔西娅·沃洛维奇（Anastasia Volovich），以及一位数学家亚历山大·B·贡恰罗夫（Alexander B. Goncharov）组成的，他们使用的技巧非常强大，让振幅学家接触到了我们大多数人以前从未见过的数学领域。这些年来，正是这个领域为我的科研事业提供了动力。

周期和对数函数

如果把费曼图中得到的某个积分拿给贡恰罗夫这样的数学家看，我们听到的第一句话会是：“那是一个周期。”

周期是一种数字。你可能熟悉自然数（1、2、3、4……）和有理数（分数）。2的平方根不是有理数，然而，它是代数的：你可以写出一个代数方程，比如x²= 2，方程的解是2的平方根。周期是个更进一步的概念：或许你不能从代数方程中得出它们，但你总能从积分中得到它们。

为什么称它们为周期？在最简单的情况下，这就是它们的字面意思：事物重复出现前经过的距离。回想高中时代，你可能还记得当时努力学习的正弦和余弦函数。你或许还记得，用虚数可以将它们放在一起，组成欧拉公式：e^ix= cos(x) i sin(x)（这里e是常数，i是-1的平方根）。这里面的三个函数，sin(x)、cos(x)和e^ix的周期都是2π。

2π是一个周期，因为它是e^ix重复前经过的距离，但你也可以将其视为一个积分。在复平面（一个轴代表实数，另一个轴代表虚数）中绘制e^ix的图像 会出现一个圆。如果你想测量这个圆的周长，你可以用一个积分来完成，也就是转上一圈，将圆周的每一截片段加起来。这样，你会发现周长就是2π。

如果你没有转上一整圈，只转到某个点z会发生什么？在这种情况下，你必须求解方程z = e^ix。再次回想高中时代，你可能还记得要解决这个问题需要什么：自然对数ln(z)。对数可能看起来不像2π那样的“周期”，但因为你可以从积分中得到它们，所以数学家也称它们为周期。除2π外，对数是最简单的周期。

当然，数学家和物理学家关心的周期可能比这种情况复杂得多。在20世纪90年代中期，物理学家开始对费曼图中得到的积分所相应的周期进行分类，发现了令人眼花缭乱的奇异数字。值得注意的是，刚才那个高中数学例子仍然很有用。当被视为周期时，这些奇特的数字有很多都可以分解为对数。理解了对数，你就几乎可以理解其他一切。

这就是贡恰罗夫教给斯普拉德林、韦尔古和沃洛维奇的秘诀。他向后者展示了如何处理那17页的杂乱结果，并把它简化成一种对数的“字母表”。根据对数间的相互关系，该字母表有一套自己的“语法”。通过运用这种语法，物理学家能够用几个特殊的“字母”重写结果，使得杂乱的粒子物理计算看起来简单很多。

这个技巧让振幅学界兴奋不已。我们可以将自己使用的许多积分分解成行为类似于对数的字母表。适用于对数的规则，如ln(x y) = ln(x) ln(y)和ln(xn) = n ln(x)等基本定律，也适用于这些字母表。

填字游戏

一旦我们知道了正确的字母表，我们也可以进行新的计算——那些不用这种方法根本不可能实现的计算。实际上，通过了解字母表，我们可以跳过费曼图，直接猜出答案。

想想报纸中经常出现的填字游戏。游戏会告诉你需要哪些字母，要组成的词是多长。如果你懒得思考 可以用计算机按照每个可能的顺序排列字母，然后浏览列表。最终你会发现一个意思合适的词，从而得到答案。

但是，这个候选答案的列表可能很长。幸运的是，在物理学中，我们一开始就获得了提示。我们从对数组成的字母表开始，这些对数描述了我们的粒子可能具有的属性（例如它们的能量和速度）。然后，我们开始用这个字母表拼写单词，写出的单词就表示可能出现在最终答案中的积分。某些词没有物理意义，而其他候选者要能解释我们已经知道的事情：当粒子变得非常慢或非常快时会发生什么。最后，我们可以将数百万个词逐层删减，最终得到了唯一一个能合理表示散射振幅的词。

2011年，兰斯·迪克逊（Lance Dixon）、詹姆斯·德拉蒙德（James Drummond）和约翰尼斯·亨（Johannes Henn）使用这种技术为一个三圈计算找到了合适的“单词”。我在2013年加入了这个团队。与当时也是研究生的杰弗里·彭宁顿（Jeffrey Pennington）一起，我们将结果变成了一种可以与旧的两圈计算进行比较的形式。我们得到的公式不是17页了，而是变成了800页，而整个计算过程一张费曼图都不用画。

从那时起，我们在计算中加入了更多的圈，我们的团队也在不断扩大我们正在处理7个圈的费曼图，我不知道新公式需要写多少页。当计算如此复杂时，贡恰罗夫的技巧也不足以简化结果了。在这种情况下，它让计算有可能实现就很让人高兴了！我们现在将结果存储在计算机文件中，大到足以让你认为它们是视频文件，而不是文本。

椭圆积分

还记得吗，散射振幅计算中包含的圈越多，预测的精度就越高。7个圈的结果可能比LHC可测量的、大约2圈左右的结果更精确。我说“可能”，是因为有一个问题：我们的7圈计算使用的是“玩具模型”——比描述真实世界粒子相互作用的理论要简单一些。要升级我们的计算使其可以描述真实世界是很困难的，并且存在许多挑战。首先，我们需要了解一些名为椭圆积分的概念。

我们使用的玩具模型表现很好。它的一个出色特点是，对于我们所做的那种计算，贡恰罗夫的方法始终有效：我们总是可以将积分分解为对数字母表，分解成圆环上的积分。在真实世界中，这种策略在两圈计算中遇到了问题：两个积分会纠缠在一起而不能分开。

想想两个勾在一起，无法分开的圆环。如果你让一个环绕另一个环移动，你将绘制出甜甜圈的形状，也就是一个环面（torus）。环面有两个“周期”，也就是说，在环面上画一条闭合线有两种不同的方式，对应两个不同的环。围绕其中一个环做积分，你会得到一个对数。然而在环面上画一个圈，你不是总能得到一个圆：相反，你可能得到一个椭圆。我们将这种积分称为环面椭圆积分。

要理解椭圆曲线，会涉及到一些著名的复杂数学问题，其中一些问题很难解决。然而，随着LHC精度的提高，椭圆积分变得越来越重要，这促使全世界的科研团队去努力解决新的数学问题。

2017年冬天，我们收到了一份提前的圣诞礼物：迪尔、杜拉特与合作者的两篇论文。他们给出了一个处理这些积分的更好方法。那些论文，以及后来他们与布伦达·佩南特（Brenda Penante）合作发表的文章，提供了我们所需要的缺失部分：一个带有“椭圆字母”的新字母表。

有了这样的字母表，我们就可以把贡恰罗夫的技巧用于更复杂的积分，并尝试去在真实世界中理解双圈振幅，而不仅是在玩具模型中。如果我们可以在真实世界中进行双圈计算，如果我们能够计算出更高精度的标准模型预测结果，我们就可以看到LHC的数据是否与这些预测相符。如果两者并不符合，就意味着出现了一些现有理论无法解释的、真正的新现象。这些数据有望帮助我们把粒子物理学推进到下一个前沿，解开那些看似无法破解的持久谜题。

撰文：马修·冯希佩尔（Matthew von Hippel），丹麦尼尔斯·波尔国际学院的博士后。

翻译：张勇，中国科学院理论物理所博士研究生。

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编辑：Shiny

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