一个圆的面积和周长公式推导：为什么圆的面积公式的导数是周长公式
一个圆的面积和周长公式推导：为什么圆的面积公式的导数是周长公式圆增加的圆和三角形增加的层，都可以看成增加了一个2π（t Δt）的圆或线，于是无穷个这样的圆（总半径和度为1）叠加成为该圆的面积。对应的三角形面积也增加一层：对于一个半径为1的圆的面积，等同于底为2π（6.28），高为1的三角形面积。我们可以这样理解r的变化对于圆面积的变化：每当r增加一个很小的增量Δr（Δr 0） 圆的面积就增大一圈：
圆的面积公式：
圆的周长公式：
如果对圆面积公式的自变量r求导，则会发现
与周长公式完全相同，这是为什么呢？
对于一个半径为1的圆的面积，等同于底为2π（6.28），高为1的三角形面积。
我们可以这样理解r的变化对于圆面积的变化：
每当r增加一个很小的增量Δr（Δr 0） 圆的面积就增大一圈：
对应的三角形面积也增加一层：
圆增加的圆和三角形增加的层，都可以看成增加了一个2π（t Δt）的圆或线，于是无穷个这样的圆（总半径和度为1）叠加成为该圆的面积。
所以我们可以用定积分来求圆的面积（半径为1的圆）：
F(r)为f(r)的原函数
当数学引入微积分后，我们就需要理解“无穷个叠加成有限个”这个思想。
如：一个长度为1的线段是由无数个点所构成的；一个体积为1的正方体是由无数个面积为1的长方形构成的。
这个也可以这样想：无数个低维物体构成一个有限的高维物体。
点是一维的，线段是二维的；
长方形是二维的，长方体是三维的。
对于这个理解，以前的数学家们也是花了很长的时间，比如著名的“追乌龟（阿基里斯悖论）”：
阿基里斯（又名阿喀琉斯）是古希腊神话中善跑的英雄。在他和乌龟的竞赛中，他速度为乌龟十倍，乌龟在前面100米跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿基里斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿基里斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿基里斯只能再追向那个1米。就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿基里斯就永远也追不上乌龟！
“乌龟” 动得最慢的物体不会被动得最快的物体追上。由于追赶者首先应该达到被追者出发之点，此时被追者已经往前走了一段距离。因此被追者总是在追赶者前面。”
这个悖论就是将追上的总距离无数细分：10 1 1/10 1/100 1/1000…...
《庄子·天下篇》中也提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”
这个也是将一个有限长度的棰无限细分：1/2 1/4 1/8 1/16……
