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向量上的符号是什么?计算机图形中的向量

向量上的符号是什么?计算机图形中的向量加/减运算形象地,具有沿着x轴4个单位位移和沿y轴3个单位位移的二维向量u表示如下:在本节中,将学习计算机图形学中最常用的向量操作。将学习如何加减向量,如何乘以除以标量,如何计算向量点积和叉积。向量向量由N个分量组成。分量的数量决定了向量的维度。三维向量包含定义沿着x,y和z轴的三个分量。在数学上,三维向量定义为:

译者:刘鸿(lewis2012)审校:王玥亭(玥亭)

介绍

向量是具有大小和方向的实体。向量由分量组成。这些分量中的每一个表示沿着对应轴的位移。例如,表示为(2 3 1)的向量表示距离原点沿x轴两个单位的位移; 沿y轴有三个单位的位移; 沿着z轴的一个单位的位移。

向量之间可以进行加减运算。向量可以相乘以或除以一个标量。然而,与实数乘法不同,向量不能在它们之间相乘,但是存在两种特殊类型的向量乘法:向量点乘和向量叉乘。

在本节中,将学习计算机图形学中最常用的向量操作。将学习如何加减向量,如何乘以除以标量,如何计算向量点积和叉积。

向量

向量由N个分量组成。分量的数量决定了向量的维度。三维向量包含定义沿着x,y和z轴的三个分量。在数学上,三维向量定义为:

向量上的符号是什么?计算机图形中的向量(1)

形象地,具有沿着x轴4个单位位移和沿y轴3个单位位移的二维向量u表示如下:

加/减运算

加法运算

在向量相加法中,每个向量分量被单独地添加到第二向量中对应分量。向量加法在数学上表示为:

向量上的符号是什么?计算机图形中的向量(2)

例如,添加两个三维向量如下:

向量上的符号是什么?计算机图形中的向量(3)

形象地,向量加法表示如下:

向量上的符号是什么?计算机图形中的向量(4)

减法运算

在向量减法中,向量的分量彼此相减。向量减法在数学上表示为:

向量上的符号是什么?计算机图形中的向量(5)

例如,两个三维向量相减如下表示:

向量上的符号是什么?计算机图形中的向量(6)

标量乘法/除法运算

在几何上,将向量与标量相乘来修改向量的长度。将向量除以标量具有相反的效果。要将向量乘以标量,只需将每个分量乘以标量即可。注意,将向量乘以正标量仅影响其大小。然而,将向量乘以一个负标量,将会影响向量的大小也会反转向量的方向。标量乘法在数学上表示为:

向量上的符号是什么?计算机图形中的向量(7)

例如,将向量缩放3倍的过程如下:

向量上的符号是什么?计算机图形中的向量(8)

形象地,向量标量乘法表示如下:

向量上的符号是什么?计算机图形中的向量(9)

向量乘积

与实数不同,向量不具有单个乘法运算。他们有两种不同类型的乘操作; 向量点积和向量叉积。向量点积产生标量,并且主要用于确定向量之间的角度。向量叉积产生垂直于被乘数和乘数向量的第三个向量。

向量点积

点积是计算两个向量之间的角度的向量操作。点积以两种不同的方式计算。

方式1:

向量上的符号是什么?计算机图形中的向量(10)

在上面的等式中,关于向量之间的角度的信息丢失。然而,该方程的结果可以告诉我们每个向量的方向。例如,如果点积等于1,则意味着两个向量具有相同的方向。如果点积是0,则意味着两个向量彼此垂直。最后,如果点积是-1,则意味着两个向量都朝向相反方向。

方法2:

如果我们有兴趣寻找两个向量之间的角度,可以使用下面的点积方程。

向量上的符号是什么?计算机图形中的向量(11)

向量叉积

两个向量产生一个平面。向量叉积运算产生垂直于两个向量的向量。两个向量的叉积计算如下:

向量上的符号是什么?计算机图形中的向量(12)

重要的是要记住,向量叉积只能用三维向量计算。如果向量存在于二维空间中,并且需要叉积,则向量必须转换为三维向量。

向量的大小

向量大小表示矢量的长度。向量的长度计算如下:

向量上的符号是什么?计算机图形中的向量(13)

例如,向量u的大小如下:

向量上的符号是什么?计算机图形中的向量(14)

形象地,向量的大小是在下面的图像中形成的三角形的斜边:

向量上的符号是什么?计算机图形中的向量(15)

单位向量

计算机图形学中一个非常有用的概念是所谓的单位向量。单位向量是长度为一个单位的向量。将非单位向量转换为单位向量的过程称为归一化。为了归一化向量,每个分量除以向量的长度。数学上是这样的:

向量上的符号是什么?计算机图形中的向量(16)

向量u的归一化如下:

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