拉氏变换初值定理和终值定理推导，让傅里叶给你讲讲拉普拉斯变换
拉氏变换初值定理和终值定理推导，让傅里叶给你讲讲拉普拉斯变换傅里叶变换是沟通时域和频域的桥梁，傅里叶变换的问世给人们提供了通往频域世界的大门，但是，傅里叶变换有一个硬条件，即只有满足狄利克雷条件的信号才能用傅里叶变换，然而很多的函数都不是绝对可积的，比如，这就使得不少工程师力不从心[流泪]。即说明了一个满足狄利克雷(Dirichlet)条件的非周期函数若是绝对可积的，就可以展开成傅里叶积分，傅里叶积分就是在频域上对信号进行分解，分解为一系列的窄脉冲，傅里叶积分的实质就是将信号看作是由无穷多个谐波所组成，也可以说成是将函数$f(t)$分解到频率不同、幅值恒为1的单位圆上。（没看明白傅里叶变换物理意义的同学可以参考一下我之前的文章：频谱分析——频谱概念（傅里叶变换、级数、积分及物理意义） ，傅里叶级数物理意义的直观理解：利用傅里叶级数逼近方波信号， 离散傅里叶变换（DFT）的详细推导与举例 ）和为实数，F(s)称为函数f(t)的拉普拉斯变换。接下来再给
本篇文章将通过傅里叶变换引出拉普拉斯变换(Laplace Transform)，并给出拉普拉斯变换的常用性质与定理。(由于昨晚发的有笔误，重新发了，请大家见谅[打脸])
Pierre-Simon Laplace
首先先摆出（单边）拉普拉斯变换的官方定义：
其中s是复数频率参数
和为实数，F(s)称为函数f(t)的拉普拉斯变换。
接下来再给出傅里叶变换的官方定义：
称为函数的傅里叶变换。
即说明了一个满足狄利克雷(Dirichlet)条件的非周期函数若是绝对可积的，就可以展开成傅里叶积分，傅里叶积分就是在频域上对信号进行分解，分解为一系列的窄脉冲，傅里叶积分的实质就是将信号看作是由无穷多个谐波所组成，也可以说成是将函数$f(t)$分解到频率不同、幅值恒为1的单位圆上。（没看明白傅里叶变换物理意义的同学可以参考一下我之前的文章：频谱分析——频谱概念（傅里叶变换、级数、积分及物理意义） ，傅里叶级数物理意义的直观理解：利用傅里叶级数逼近方波信号， 离散傅里叶变换（DFT）的详细推导与举例 ）
傅里叶变换是沟通时域和频域的桥梁，傅里叶变换的问世给人们提供了通往频域世界的大门，但是，傅里叶变换有一个硬条件，即只有满足狄利克雷条件的信号才能用傅里叶变换，然而很多的函数都不是绝对可积的，比如，这就使得不少工程师力不从心[流泪]。
为解决这一问题，机智的数学家们这样想：你不是不满足绝对可积吗，那我就给你乘上一个具有快速衰减性质的函数，让这个帮你满足绝对可积的要求[机智]。
怎么样，厉害吧，OK，思路理清楚了，再把上面的大白话翻译成数学语言说一遍：
给一个非绝对可积的函数f(t)乘一个具有快速衰减性质的函数帮你满足绝对可积的要求：
那么这个函数的傅里叶变换就变为
此时令
就得到了拉普拉斯变换的官方定义：
因此可以认为，与傅里叶变换的区别在于，拉普拉斯变换是将函数分解到频率幅值都在变化的圆上。因为拉普拉斯变换有两个变量，因此适用范围更广。
接下来为方便运用，先不加证明地给出自动控制中拉普拉斯变换的性质与定理（转自wiki百科）
性质：
图片转自维基百科
初值定理(Initial value theorem)：
终值定理(Final value theorem)：
但是这里要注意终值定理取的是s→0的极限，因而s=0的点应该在sF(s)的收敛域内，否则是无法应用终值定理的。
在自动控制原理中，我们尤为关注一个响应的终态，利用终值定理就可以直接求得的终态稳定值，意义在于简化了繁琐的求解过程。
例如，求解一个一阶惯性环节的阶跃响应：
若使用普通的拉普拉斯变换，计算步骤为先求C(s)的拉普拉斯反变化，再求极限：
而使用终值定理就非常简便，只需要一步：
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