级数和数列的关系：图解普林斯顿微积分读本
级数和数列的关系：图解普林斯顿微积分读本下角标经常用于数列中 其中 a1 表示数列中的第一项 a2 表示第二项... 数列经常由一个公式来给出 比如:数列是一列有序的数 可能是有限项 也可能有无穷项 其中有无穷项的数列叫作无穷数列(infinite sequence).级数的收敛与发散 以及几何级数的敛散性讨论;级数的第n 项判别法;级数和反常积分的联系;
第 22 章 数列和级数：基本概念 (Sequences and Series: Basic Concepts)本章的内容：
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数列的收敛和发散;
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两个重要数列;
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数列极限和函数极限之间的联系;
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级数的收敛与发散 以及几何级数的敛散性讨论;
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级数的第n 项判别法;
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级数和反常积分的联系;
数列是一列有序的数 可能是有限项 也可能有无穷项 其中有无穷项的数列叫作无穷数列(infinite sequence).
下角标经常用于数列中 其中 a1 表示数列中的第一项 a2 表示第二项... 数列经常由一个公式来给出 比如:
是否存在. 如果存在 值是多少. 如果越来越趋近于L 并一直保持这种趋势. 则数列 an 收敛 否则发散.
22.1.1 数列和函数的联系
在水平渐近线上 数列和函数有类似极限性质:
另一个重要的事实是三明治定理 即夹逼定理 对数列也适用. 此外连续函数保持极限以及洛必达法则对于数学都适用.
22.1 .2 两个重要数列
取常数 r 考虑从 n=0 开始取值的数列 an=r^n 这是一个等比数列:
上面这些都是下述一般规则的特例:
另一个很有用的数列 k 为任意常数:
级数(Series)就是将数列 an 的所有项都相加起来. 无穷级数可写为:
重要的一点是：级数收敛还是发散与起始项无关!
几何级数(理论) Geometric series
来看如下一个等比数列的无穷几何级数的重要例子 问题是 该级数收敛吗？若收敛 收敛于何值？
为了求解 我们最好看一下部分和. 选择数 N 则部分和 AN 用求和号表示为:
但注意: 第n 项判别法不能用于级数收敛性的判别!
22.4 无穷级数和反常积分的性质反常积分的四个判别法对无穷级数仍适用.
22.4.1 比较判别法(理论)
假设级数 ∑an 每一项为正 若级数发散 则只要找到一个更小的发散级数 ∑bn 即证.
22.4.2 极限比较判别法(理论)
22.4.3 p 判别法(理论)
调和级数(Harmonic Series)
22.4.4 绝对收敛判别法
级数前面有限项不影响级数最终的收敛性. 所以如果级数从某一项后均为正(或者均为负) 则可只讨论后面的新级数部分.
如果是交错级数 则用绝对收敛判别法: 若∑|an|收敛 则 ∑an 也收敛.
22.5 级数的新判别法22.5.1 比式判别法(理论)
该判别发只能用于级数 级数相邻两项的比 bn . 如果新数列 bn 收敛与小于 1 的数 则原级数收敛.
22.5.2 根式判别法(理论)
考虑的是第 n 项绝对值的 n 次方根 构造新数列 bn=|an|^(1/n) 求极限. 若极限<1 则原级数收敛. 若极限值>1 则发散. 如果极限值=1 需要采用其他方法讨论.
22.5.3 积分判别法(理论)
(完)「予人玫瑰 手留余香」
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