爱因斯坦的一道数学神题：天才何谓呕心乃已

爱因斯坦的一道数学神题：天才何谓呕心乃已图1. 爱森斯坦画像爱森斯坦的一大容易被忽略的成就是他可能是第一个引入矩阵概念/记号 (matrix notation) 的人。历史上，矩阵的发明一般归功于Arthur Cayley，而且认为在1858年以前是没有矩阵概念的。然而，爱森斯坦1844的论文也许更早地包含有矩阵的思想。在这篇“Allgemeine Untersuchungen über die Formen dritten Grades （关于三次形式的一般研究）”，这篇文章里引入了matrix notation。这里的革命性思想是，矩阵可以作为代数元素进行运算，且其乘法可以有不可交换性！矩阵运算可以但不必然具有不可交换性，是矩阵在量子力学中起作用的数学保证。此是后话。1843年夏，19岁的爱森斯坦到访爱尔兰都柏林，去到哈密顿工作的天文台拜会哈密顿，一为找教职（注意，他还未入大学呃！)，二来和哈密顿聊聊他关于三重存在 【tri

他是第一个用矩阵记号的人，他19岁时的短暂访问吓得哈密顿放下手里所有的活计专心捡起三元数研究，终于在四个月后发明了四元数，他是高斯眼里与阿基米德、牛顿并列的三个划时代数学家之一。他24岁时出版的论文集由高斯作序，那时他椭圆函数论的课堂里有后来的数学大神黎曼，他去世时83岁的亚历山大·冯·洪堡为他扶棺下葬哀痛不已。他就是普鲁士数学家爱森斯坦，享年29岁。

撰文 | 曹则贤（中国科学院物理研究所研究员）

2020年4月27日，笔者再读哈密顿传记，书中提及1843年夏19岁的爱森斯坦访问哈密顿 (Sir William Rowan Hamilton。对，就是哈密顿量，Hamiltonian，里的那个哈密顿)，吓得哈密顿赶紧拾起几次放下的关于三元数的研究，终于在10月16日发明了四元数。读到此处，笔者是不由得会心一笑，能把哈密顿惊吓到的，自然不是平凡人物。爱森斯坦这个名字我自然是知道的。2014年夏天，笔者注意到用高斯整数和爱森斯坦整数可以分别表示正方格子和三角格子，这可方便证明这两种格子的缩放对称性是否为无穷多的问题【参见曹则贤《一念非凡》p.199】，这是我第一次接触到Eisenstein这个名字。爱森斯坦整数是这样的整数，z=a bω，其中a b是整数，ω=e^2πi/3，这个形式的二元数在二维复平面里的图像就是三角格子，学固体物理的不可不知。既然再次见到了这个数学家的名字 (其实，Morris Kline的《古今数学思想史》里也是提到过的)，我于是决定关切一下他的生平，没想到爱森斯坦竟然享年只有29岁。看到这个数据，笔者感到万分痛惜。天妒英才，在诗人和数学家身上真是屡有应验啊，伽罗华享年仅21岁，阿贝尔享年仅27岁。细观爱森斯坦短暂而又富有成就的一生，笔者唏嘘不已，遂决定撰此短文，扬天才英名，以申敬仰之情。

爱森斯坦 (Ferdinand Gotthold Max Eisenstein 1823 –1852)，普鲁士时期柏林人。爱森斯坦自幼就展现出数学与音乐方面的天分，中学教的那些数学远远不能满足他的胃口，15岁时爱森斯坦即用欧拉和拉格朗日的著作学习微积分【感慨：学任何东西，都要尽可能采用大家的著述。岌岌无名者的书本，怎可拿来自污耳目！】。1840年起，中学生爱森斯坦就去柏林大学跟随欧姆 (Martin Ohm 1792-1872，欧姆定律的那个欧姆是Georg Ohm)、狄里希利 (Peter Gustav Lejeune Dirichlet 1805-1859) 等人学数学。狄里希利是大神级数学家，1846年黎曼也被高斯劝到柏林大学跟随狄里希利等人学数学。

1843年夏，19岁的爱森斯坦到访爱尔兰都柏林，去到哈密顿工作的天文台拜会哈密顿，一为找教职（注意，他还未入大学呃！)，二来和哈密顿聊聊他关于三重存在 【triplet，哈密顿想参照复数那样的二元数/代数偶素的形式构造的数学对象。Triplet不方便就直接翻译为三元数，因为它不光指三元数，此外它和trinity triad triadic treatment等宗教和形而上学的“三”概念有关】的研究。

关于要构造三重存在，具体包括三元数或者描述三维空间矢量的代数元素等，哈密顿是1830年在他25岁时认识到复数的表达式 x iy 不太恰当【有什么不恰当呢？你看 (a ib) (c id)=(a c) i(b d) 中任一侧中间的那个加法符号，其与前后的两个加法符号意义就不一样！】的时候，深入思考而后将之当作代数偶素 (x y) 处理，那时候就想起了要构造triplet。这些工作直到1843年夏几起几落，一直未能成功，哈密顿本人倒也不太着急。

然而，爱森斯坦这位普鲁士19岁的大学前小青年的来访让哈密顿顿时警觉起来，如果这件事情再不做出来，估计会被这位年轻的柏林大学前小青年占得先机。一个可能是在同爱森斯坦讨论的时候，他们谈到了乘法的交换律—放弃乘法交换律可能是实现目标的关键，注意，三维空间的转动就是非交换的！据哈密顿的自述以及哈密顿的传记记载，爱森斯坦走后哈密顿把全部身心都放到了构造triplet上，以至于每天早晨他大儿子都要问他 “爸爸，你弄会了三元数的乘法和加法了吗？” 1843年10月16日，前后断断续续花费了13年功夫的哈密顿终于发明了四元数 (quaternion) 。三元数的研究一直没有进展，那是因为根本不存在三元数的除法代数。加减乘除对笔者来说实在太难了，就此打住！哈密顿成功发明四元数五天后，1843年10月21日，爱森斯坦进入柏林大学读书。

爱森斯坦的一大容易被忽略的成就是他可能是第一个引入矩阵概念/记号 (matrix notation) 的人。历史上，矩阵的发明一般归功于Arthur Cayley，而且认为在1858年以前是没有矩阵概念的。然而，爱森斯坦1844的论文也许更早地包含有矩阵的思想。在这篇“Allgemeine Untersuchungen über die Formen dritten Grades （关于三次形式的一般研究）”，这篇文章里引入了matrix notation。这里的革命性思想是，矩阵可以作为代数元素进行运算，且其乘法可以有不可交换性！矩阵运算可以但不必然具有不可交换性，是矩阵在量子力学中起作用的数学保证。此是后话。

图1. 爱森斯坦画像

爱森斯坦1843年与哈密顿告别时，得到了哈密顿赠送的自己写的关于阿贝尔的五次方程不可解的证明的长文，这更加刺激了这位大学前小青年研究数学的热情。爱森斯坦从英伦回来就通过了中学毕业考试，并于1844年1月在进入大学没俩月就提交了论两变量立方形式的论文（估计和哈密顿讨论与此有关）。在这大学的头一年里，爱森斯坦发表了23篇论文，提出了两个数学问题，包括椭圆函数以及数论里的二次互反律【注：是对quadratic reciprocity的乱翻译，其字面意思是两个整数的关于另一个整数平方的某种互反关系】，并提出了三次互反律(cubic reciprocity) 和四次互反律 (quartic reciprocity)。1847年，爱森斯坦在从入大学算起才三年多的时间就拿到了私俸讲师位置【普鲁士职称制度。获得博士学位的人可以申请作Habilitation，即独立工作一段时间，考评合格后有Habil. Dr.的头衔和私俸讲师的职称，可以授课，可以等别处的教授位置空缺】，他讲授椭圆函数的班里有个学生叫黎曼。1851年，28岁的爱森斯坦被选入哥廷恩科学院，同年被选入柏林科学院，这时候离他到大学上一年级才仅仅过了8年。

爱森斯坦的文集，笔者刚下载，还未来得及阅读，但无疑他的工作都是第一流的。爱森斯坦和高斯交好，其身后的文集就由高斯作序【这篇序是笔者读的高斯的第一篇文字。笔者可是号称学过电磁学的啊，唉！】，在这篇序里，作为对比高斯提到的一个人是欧拉。关于爱森斯坦，高斯曾云：“es habe nur drei epochebildende Mathematiker gegeben: Archimed Newton Eisenstein (历史上划时代的数学家只有三位：阿基米德、牛顿和爱森斯坦)。”在另一场合，在高斯1846年4月14日致洪堡的信中，高斯夸奖爱森斯坦的天分是“welche die Natur in jedem Jahrhundert nur wenigen erteilt (大自然一百年只赋予几个人的那种)”。这大概是对一个数学家的最高评价了，而且是出自当时被称为数学第一人 (Princeps mathematicum) 的高斯之口，足见爱森斯坦天分之高。当然天才爱森斯坦也知道天高地厚，也知道尊重真正的大学问家。在一封致M. A. Stern的信中，爱森斯坦请求Stern代为问候他在哥廷恩的熟人，“但是不要代我问候高斯；对于真神，理应祷祝与敬仰才是。”

悲剧的是，爱森斯坦身体先天不足，小时即罹患脑膜炎，成年后也时有病痛。大学时期的爱森斯坦生活贫困，靠高斯和洪堡给他争取到的奖学金生活。1852年爱森斯坦死于肺结核，享年仅仅29岁，83岁的亚历山大·冯·洪堡为他扶棺下葬。正是，恨血千年土中碧，大抵天才不寿长。大底天意如此，非人力所能改变的。

我们普通人能做的，就是敬仰天才的同时，多少匀一点他们为我们从愚昧中盗来的知识圣火，来驱赶自己脚下的这一片漆黑如墨。

参考文献

[1] Gotthold Eisenstein Mathematische Abhandlungen. Besonders aus dem Gebiete der höheren Arithmetik und der elliptischen Funktione (数学研究——特别是关于高等算术和椭圆函数领域的)， Reimer (1847).

[2] Thomas L. Hankins Sir William Rowan Hamilton The John Hopkins University Press (1980).

[3] Gotthold Eisenstein Mathematische Werke (数学著作)，Chelsea Publishing (1975).