中考动点压轴题解题：靶向中考重高冲刺专题

中考动点压轴题解题：靶向中考重高冲刺专题∴c²＝4×1/2ab （a﹣b）²＝2ab a²﹣2ab b² 即c²＝a² b²．；【解答】（1）∵大正方形面积为c2，直角三角形面积为1/2ab，小正方形面积为（b﹣a）²，1．（2018秋•兴化市校级月考）现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝b，BC＝a，请你利用这个图形解决下列问题：（1）试说明a² b²＝c²；（2）如果大正方形的面积是6，小正方形的面积是2，求（a b）²的值．

“弦图”是由八个形状相同、大小相等的直角三角形，拼成的四个长方形而围成的中空也为正方形的正方形。早在一千七百多年前，三国时期的吴国数学家赵爽，在为我国数学巨著 《周髀算经》作注释时，就利用它对勾股定理作出了严格而又简捷的证明。

弦图的特点是大正方形的边长等于长方形的长边与宽边的和，中空部分的小正方形的边长 就是长方形长边与宽边的差。根据大、小两个正方形的边长与长方形长和宽的关系，斜边与直角边的关系，可以巧妙而简捷地解决许多实际问题。

如图1，在边长为c的正方形中，有四个斜边长为c的全等的直角三角形，它们的直角边长分别为a，b，利用这个图形证明勾股定理（这是我国古代数学家赵爽的拼图 简称赵爽弦图），这个图形为背景的问题，近年来很多涉及这个图形问题频频出现，体现了数形结合思想应用魅力。

类型1 用来探究线段数量关系

1．（2018秋•兴化市校级月考）现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝b，BC＝a，请你利用这个图形解决下列问题：

（1）试说明a² b²＝c²；

（2）如果大正方形的面积是6，小正方形的面积是2，求（a b）²的值．

【解答】（1）∵大正方形面积为c²，直角三角形面积为1/2ab，小正方形面积为（b﹣a）²，

∴c²＝4×1/2ab （a﹣b）²＝2ab a²﹣2ab b² 即c²＝a² b²．；

（2）由图可知，（b﹣a）²＝2，4×1/2ab＝6﹣2＝4，∴ab＝1，

∴（a b）²＝（b﹣a）² 4ab＝2 4＝6．

2. 问题背景：

如图1，在正方形ABCD的内部，作∠DAE＝∠ABF＝∠BCG＝∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形．

类比探究：

如图2，在正△ABC的内部，作∠BAD＝∠CBE＝∠ACF，AD，BE，CF两两相交与D，E，F三点（D，E，F三点不重合）．

（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明．

（2）△DEF是否为正三角形？请说明理由．

（3）进一步探究发现，△ABD的三边存在一定的等量关系．设BD＝a，AD＝b，AB＝c，请探索a，b，c满足的等量关系．

分析：（1）已知有一组对应边相等，由旋转可得一组对应角相等，证明另一组对应角相等即可．

（2）由（1）中全等可得△DEF三个外交对应相等，从而可得三个内角对应相等．

（3）由（2）知∠ADB=120°，根据特殊角构造直角三角形，作AG⊥BD，利用特殊角三角函数及勾股定理即可求解．

解：（1）△ABD≌△BCE≌△CAF，

证明：∵正△ABC，∴∠CAB∠ABC＝∠BCA＝60°，AB＝BC．

∵∠ABD＝∠ABC－∠2，∠BCE＝∠ACB－∠3，而∠2＝∠3．

∴∠ABD＝∠BCE，又∵∠1＝∠2，∴△ABD≌△BCE（SAS）

（2）△DEF是正三角形．

证明：∵△ABD≌△BCE≌△CAF，∴∠ADB＝∠BEC＝∠CFA．

∴∠FDE＝∠DEF＝∠EFD，∴△DEF是正三角形．

（3）作AG⊥BD，交BD延长线于G．又△DEF是正三角形得到∠ADG＝60°

∴在Rt△ADG中，c²＝（a＋1/2b）²＋（√3/2b）²，∴c²＝a²＋ab＋b².

类型2 用来求面积

3.（2018春•思明区校级期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c．如图②，现将这四个全图②等的直角三角形紧密拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，则该飞镖状图案的面积（ ）

A．6 B．12

C．24 D．24√3

【解答】根据题意得：4（AB AC）＝24，即AB AC＝6，OB＝OC＝3，

在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB²＝OA² OB²，

即（6﹣AC）²＝3² （3 AC）²，解得：AC＝1，

∴OA＝3 1＝4，∴S_△AOB＝1/2×3×4＝6，

则该飞镖状图案的面积为24，故选：C．

4．（2018•温州中考题）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a＝3，b＝4，则该矩形的面积为（ ）

A．20 B．24

C．99/4 D．53/2

【解答】设小正方形的边长为x，∵a＝3，b＝4，∴AB＝3 4＝7，

在Rt△ABC中，AC² BC²＝AB²，即（3 x）² （x 4）²＝7²，

整理得，x² 7x﹣12＝0，而长方形面积为x² 7x 12＝12 12＝24

∴该矩形的面积为24，故选：B．

5．（2018春•新洲区期末）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S₁、S₂、S₃．若S₁ S₂ S₃＝60，则S₂的值是（ ）

A．12 B．15

C．20 D．30

【解答】设每个小直角三角形的面积为m，则S₁＝4m S₂，S₃＝S₂﹣4m，

因为S₁ S₂ S₃＝60，所以4m S₂ S₂ S₂﹣4m＝60，

即3S₂＝60，解得S₂＝20．故选：C．

6.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1））．图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S₁、S₂、S₃．若正方形EFGH的边长为2，则S₁ S₂ S₃=_____．

【解答】∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，

∴CG=KG，CF=DG=KF，

∴S₁=（CG DG）²=CG² DG² 2CG•DG=GF² 2CG•DG，

S₂=GF²，S₃=（KF﹣NF）²=KF² NF²﹣2KF•NF，

∴S₁ S₂ S₃=GF² 2CG•DG GF² KF² NF²﹣2KF•NF=3GF²=12，

故答案是：12．

【方法点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质，根据已知得出S₁ S₂ S₃=3GF²=12是解题的难点．

类型3 用来求周长或线段长

7．（2018秋•温江区校级月考）如图1（题头的图）所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（ ）

A．9 B．6

C．4 D．3

【解答】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，

∵每一个直角三角形的面积为：1/2ab＝1/2×8＝4，

∴4×1/2ab （a﹣b）²＝25，

∴（a﹣b）²＝25﹣16＝9，∴a﹣b＝3，故选：D．

8.（2017浙江丽水）我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，绘制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1所示.在图2中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为

解析：设直角三角形的勾（较短的直角边）为a，股（较长的直角边）为b，根据题意得

a b=14.b-a=2，解得a=6 b=8，由勾股定理得直角三角形的弦（斜边）为10，即方形EFGH的边长为10．

9．（2018秋•安岳县期末）勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，已知∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，点D、E、F、G、H、I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的周长为（ ）

A．40 B．44

C．84 D．88

【解答】如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，

∴四边形AOLP是正方形，边长AO＝AB AC＝6 8＝14，

∴KL＝6 14＝20，LM＝8 14＝22，

∴矩形KLMJ的周长为2×（20 22）＝84．故选：C．

小结：这类问题的解题思路特色鲜明：往往借助整体思想，方程思想联袂出击，其中所列等式整体变形很关键，方程四工具，只有意识到这一点，我们才可掌握这类问题必杀技！