椭圆面积公式推导：用初等方法推导椭圆面积公式

椭圆面积公式推导：用初等方法推导椭圆面积公式之前说过流过圆形和椭圆形的流量相等，但圆形平面和流动方向垂直，相当于夹角为0 cos0=1;而椭圆平面和流动方向呈θ°的夹角。我们可以列出方程通过圆形截面和通过椭圆形截面的水流量相等，那我们应该再思考下通过各种不同面的流量的表达式。考虑极限情形，如果水流，流动的方向和一平面平行，那流过这个平面的的流量应为零。下图是水流方向和平面垂直、平行、呈60°角时的流量情形。可从直观上理解，和平面垂直时流量是最大的，和平面平行时流量最小。如果平面面积为s 夹角为θ，水的流速为v，则流过这个面的流量即水的体积就为s× v×cosθ半径相同的圆柱，它的圆形截面和椭圆形截面下图为在一个圆柱体水管的一部门，中间部位画出了假想的圆形截面，和假想的椭圆形截面，圆形截面和圆柱体上下底面全等且平行，椭圆截面是倾斜一定角度截出来的，倾斜角为θ，从图中可以看出，这个椭圆截面半短轴为a 半长轴为a/cosθ。设想某时间段水

这种方法也许不是非常严谨，但却较为直观和形象。

考虑一根圆柱形的水管，它的半径(内径)为a 若垂直圆柱的轴线，切下这根圆柱，则这根水管的截面是一个圆形。且截面的面积为πa²

一根圆柱形水管，它的半径(内径)为a

圆柱形的截面除了是圆形还有很多可能，比如椭圆形。

半径相同的圆柱，它的圆形截面和椭圆形截面

下图为在一个圆柱体水管的一部门，中间部位画出了假想的圆形截面，和假想的椭圆形截面，圆形截面和圆柱体上下底面全等且平行，椭圆截面是倾斜一定角度截出来的，倾斜角为θ，从图中可以看出，这个椭圆截面半短轴为a 半长轴为a/cosθ。设想某时间段水管里充满了水，并流过，那流过水管的水流量和你的假想截面无关，水流量不会因为你画不同的假想截面而改变，否则大家都是神笔马良了。

一段水管两个假想截面，一个截面是和上下底相同的圆形，另一个是半长轴为a/cosθ 半短轴为a的椭圆

通过圆形截面和通过椭圆形截面的水流量相等，那我们应该再思考下通过各种不同面的流量的表达式。考虑极限情形，如果水流，流动的方向和一平面平行，那流过这个平面的的流量应为零。下图是水流方向和平面垂直、平行、呈60°角时的流量情形。可从直观上理解，和平面垂直时流量是最大的，和平面平行时流量最小。如果平面面积为s 夹角为θ，水的流速为v，则流过这个面的流量即水的体积就为s× v×cosθ

之前说过流过圆形和椭圆形的流量相等，但圆形平面和流动方向垂直，相当于夹角为0 cos0=1;而椭圆平面和流动方向呈θ°的夹角。我们可以列出方程

s(圆形)×v=s(椭圆)×v×cosθ

则椭圆面积:s(椭圆)=s(圆形)÷cosθ=π×a/ cosθ×a

我们之前知道a是椭圆的半短轴，而a/cosθ是半长轴。所以椭圆面积公式为:πab(π乘以半长轴再乘以半短轴)。