高数常用微积分公式24个，图解普林斯顿微积分微积分

高数常用微积分公式24个，图解普林斯顿微积分微积分下面来看看数学中最著名公式之一的欧拉恒等式:那么在复平面内极坐标为 (r θ) 的点 所表示的复数的笛卡尔坐标 (x= cos(θ) y=r sin(θ)) :再《幂级数和泰勒级数》一章已经知道:如果 x 为复数 z 就会得到一个项为复数的级数 e^z 其中z 是任意复数 则且级数收敛.在复平面内将每个点看作一个复数 而不是一对实数. 可将平面中的点用极坐标代替.

第 28 章 复数28.1 基础

这部分内容请查看: 「不可能的数字：复数」-图解不可不知的数学知识系列 01

若z = x iy 与其对应的共轭复数(complex conjugate) x-iy . z 的模(modulus) 为 √x^2 y^2 写作 |z| .

复数与它的共轭复数的乘积是模的平方 即:

复指数函数(Complex exponentials)

再《幂级数和泰勒级数》一章已经知道:

如果 x 为复数 z 就会得到一个项为复数的级数 e^z 其中z 是任意复数 则且级数收敛.

28.2 复平面

在复平面内将每个点看作一个复数 而不是一对实数. 可将平面中的点用极坐标代替.

那么在复平面内极坐标为 (r θ) 的点 所表示的复数的笛卡尔坐标 (x= cos(θ) y=r sin(θ)) :

下面来看看数学中最著名公式之一的欧拉恒等式:

观察下图不同的 θ 值对应的 e^(iθ) 请留意动画停顿之处(特别是在复平面中等于 -1 的地方)

对于不在单位圆上的点 你只需乘以 r 也就是如果 (x y) 和 (r θ) 为相同的点 则 x i y = r e^(iθ)

从上图中可以得知 e^(iθ) 关于 θ 是周期的 且周期为 2π . 这意味着 e^(i3π/2)= e^(−iπ/2)

笛卡尔形式和极坐标形式互换

将极坐标形式的复数转成笛卡尔形式 可以利用欧拉恒等式 即 e^(iθ)=cos(θ) i sin(θ) . 例如

由笛卡儿形式转换到极坐标形式要用到这个公式 r=√x2 y2 . 比如对于辅助 z= 1-i 中 x=1 y=-1. 由图形知道点 (1 -1) 再第四象限 且两种 θ 均正确(加上 2π 的任意整数倍).

28.3 复数的高次幂

极坐标形式比较容易进行乘法和取幂运算 比如

28.4 解 z^n = w

如何解 z^n=w 的方程 其中 n 是整数 w 为复数. 这意味着要取 w 的 n 次方根. 使用极坐标形式的幂次来进行求解.

一般第 方程有 n 个解 当画出这些解时 它们的顶点形成了一个正 n 多边形.

28.6 一些三角级数

三角级数是系数为 anan 和 bnbn 形如下面的级数:

28.7 欧拉恒等式和幂级数

来看看用幂级数来证明欧拉恒等式吧:

按照之前 28.1.1 节对 e^z 的定义 将 z 替换为 iθ 可以得到

由于i 的幂在值 1 i -1 -i 间持续循环:

展开后整理实部系数和虚部系数 可以推出欧拉等式 e^(iθ)=cos(θ) i sin(θ)