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高三数学知识点:高三数学知识点-极限

高三数学知识点:高三数学知识点-极限⑵几个常用极限:②当n→∞时,an→a.那么,根据①②对一切自然数n≥n0时,P(n)都成立.2. ⑴数列极限的表示方法:①

1. ⑴第一数学归纳法:①证明当n第一个n0时结论正确;②假设当n=k(k∈N k≥n0)时,结论正确,证明当n=k 1时,结论成立.

⑵第二数学归纳法:设P(n)是一个与正整数n有关的命题,如果

①当n=n0(n0∈N )时,P(n)成立;

②假设当n≤k(k∈N k≥n0)时,P(n)成立,推得n=k 1时,P(n)也成立.

那么,根据①②对一切自然数n≥n0时,P(n)都成立.

2. ⑴数列极限的表示方法:

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②当n→∞时,an→a.

⑵几个常用极限:

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(C为常数)

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③对于任意实常数,

当|a|<1时,

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当|a|=1时,若a = 1,则

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;若a=-1,则

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不存在

当|a|>1时,

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不存在

⑶数列极限的四则运算法则:

如果

高三数学知识点:高三数学知识点-极限(8)

,那么

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特别地,如果C是常数,那么

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⑷数列极限的应用:

求无穷数列的各项和,特别地,当|q|<1时,无穷等比数列的各项和为S=a₁/(1-q)(|q|<1).

(化循环小数为分数方法同上式)

注:并不是每一个无穷数列都有极限.

3. 函数极限;

⑴当自变量x无限趋近于常数x0但不等于x0)时,如果函数F(x)无限趋进于一个常数a,就是说当x趋近于x0,函数F(x)的极限为a.记作

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或当x→x0时,F(x)→a.

注:当x→x0时,F(x)是否存在极限与F(x)在x0处是否定义无关,因为x→x0并不要求x=x0(当然,F(x)在x0是否有定义也与F(x)在x0是否存在极限无关=>函数F(x)在x0有定义是

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存在的既不充分又不必要条件.)

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在x=1处无定义,但

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存在,因为在x=1处左右极限均等于零.

⑵函数极限的四则运算法则:

如果

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,那么

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特别地,如果C是常数,那么

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注:①各个函数的极限都应存在.

②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况,但不能推广到无限个情况.

⑶几个常用极限:

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4. 函数的连续性:

⑴如果函数fx),gx)在某一点x=x0连续,那么函数f(x)±g(x) f(x)·g(x) f(x)/g(x)(g(x)≠0)在点x=x0处都连续。

⑵函数fx)在点x=x0处连续必须满足三个条件:

①函数fx)在点x=x0处有定义;

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存在;

③函数fx)在点x=x0处的极限值等于该点的函数值,即

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⑶函数fx)在点x=x0处不连续(间断)的判定:

如果函数fx)在点x=x0有下列三种情况之一时,则称x0为函数fx)的不连续点.

fx)在点x=x0处没有定义,即f(x0)不存在;

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不存在;

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存在,但

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5. 零点定理,介值定理,夹逼定理:

⑴零点定理:设函数f(x)在闭区间[a b]上连续,且f(a)·f(b)<0.那么在开区间(a b)内至少有函数f(x)的一个零点,即至少有一点ζ(a<ζ<b)使f(ζ)=0.

⑵介值定理:设函数f(x)在闭区间[a b]上连续,且在这区间的端点取不同函数值 f(a)=A f(b)=B,那么对于A B之间任意的一个数C,在开区间(a b)内至少有一点ζ,使得f(ζ)=C(a<ζ<b).

⑶夹逼定理:设当0<|x-x0|<σ时,有g(x)≤f(x)≤h(x),且

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,则必有

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注:|x-x0|:表示以x0为的极限,则|x-x0|就无限趋近于零.(ζ为最小整数)

6. 几个常用极限:

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