高三数学知识点：高三数学知识点-极限

高三数学知识点：高三数学知识点-极限⑵几个常用极限：②当n→∞时，an→a.那么，根据①②对一切自然数n≥n0时，P(n)都成立.2. ⑴数列极限的表示方法：①

1. ⑴第一数学归纳法：①证明当n第一个n0时结论正确；②假设当n=k（k∈N k≥n0）时，结论正确，证明当n=k 1时，结论成立.

⑵第二数学归纳法：设P(n)是一个与正整数n有关的命题，如果

①当n=n0（n0∈N ）时，P（n）成立；

②假设当n≤k（k∈N k≥n0）时，P(n)成立，推得n=k 1时，P(n)也成立.

那么，根据①②对一切自然数n≥n0时，P(n)都成立.

2. ⑴数列极限的表示方法：

①

②当n→∞时，an→a.

⑵几个常用极限：

①

（C为常数）

②

③对于任意实常数，

当|a|<1时，

当|a|=1时，若a = 1，则

；若a=-1，则

不存在

当|a|>1时，

不存在

⑶数列极限的四则运算法则：

如果

，那么

①

②

③

特别地，如果C是常数，那么

⑷数列极限的应用：

求无穷数列的各项和，特别地，当|q|<1时，无穷等比数列的各项和为S=a₁/(1-q)(|q|<1).

（化循环小数为分数方法同上式）

注：并不是每一个无穷数列都有极限.

3. 函数极限；

⑴当自变量x无限趋近于常数x0但不等于x0）时，如果函数F(x)无限趋进于一个常数a，就是说当x趋近于x0，函数F(x)的极限为a.记作

或当x→x0时，F(x)→a.

注：当x→x0时，F(x)是否存在极限与F(x)在x0处是否定义无关，因为x→x0并不要求x=x0（当然，F(x)在x0是否有定义也与F(x)在x0是否存在极限无关＝＞函数F(x)在x0有定义是

存在的既不充分又不必要条件.）

如

在x=1处无定义，但

存在，因为在x=1处左右极限均等于零.

⑵函数极限的四则运算法则：

如果

，那么

①

②

③

特别地，如果C是常数，那么

注：①各个函数的极限都应存在.

②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况.

⑶几个常用极限：

4. 函数的连续性：

⑴如果函数f（x），g（x）在某一点x=x0连续，那么函数f(x)±g(x) f(x)·g(x) f(x)/g(x)(g(x)≠0)在点x=x0处都连续。

⑵函数f（x）在点x=x0处连续必须满足三个条件：

①函数f（x）在点x=x0处有定义；

②

存在；

③函数f（x）在点x=x0处的极限值等于该点的函数值，即

⑶函数f（x）在点x=x0处不连续（间断）的判定：

如果函数f（x）在点x=x0有下列三种情况之一时，则称x0为函数f（x）的不连续点.

①f（x）在点x=x0处没有定义，即f(x0)不存在；

②

不存在；

③

存在，但

5. 零点定理，介值定理，夹逼定理：

⑴零点定理：设函数f(x)在闭区间[a b]上连续，且f(a)·f(b)<0.那么在开区间(a b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点ζ（a＜ζ<b）使f(ζ)=0.

⑵介值定理：设函数f(x)在闭区间[a b]上连续，且在这区间的端点取不同函数值 f(a)=A f(b)=B，那么对于A B之间任意的一个数C，在开区间(a b)内至少有一点ζ，使得f(ζ)=C(a<ζ<b).

⑶夹逼定理：设当0<|x-x0|<σ时，有g(x)≤f(x)≤h(x)，且

，则必有

注：|x-x0|：表示以x0为的极限，则|x-x0|就无限趋近于零.（ζ为最小整数）

6. 几个常用极限：

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