如何利用函数解方程：利用函数图象巧解方程问题

如何利用函数解方程：利用函数图象巧解方程问题【方法一】求根公式法【解题过程】B．a＞3C．3＜a＜4D．a＜3

函数与方程的关系，可以利用函数图象表达．

下面是一道关于一元二次方程两个实数根的问题，有多种解决办法，看看哪种最符合你的口味！

题文：设关于x的方程x2－4x＋a＝0有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2．则a的取值范围是（）．

A．a＜4

B．a＞3

C．3＜a＜4

D．a＜3

【解题过程】

【方法一】求根公式法

解：∵方程x2－4x＋a＝0有两个不相等的实数根x1、x2，

∴Δ＝b2－4ac＝16－4a＞0．

＝2±

．

∵x1＜1＜x2，

∴2－

＜1＜2＋

，解得a＜3．

∴a＜3．

故选D．

【方法二】韦达定理

解：∵方程x2－4x＋a＝0有两个不相等的实数根x1、x2，

∴Δ＝b2－4ac＝16－4a＞0．

∴a＜4．

∵x1＜1＜x2，

∴x1－1＜0，x2－1＞0，

∴(x1－1)(x2－1)＝x1 x2－(x1＋x2)＋1＜0，即a－4＋1＜0．

∴a＜3．

故选D．

【方法三】二次函数的图象

解：设二次函数y＝x2－4x＋a，二次函数图象的如图所示

∴二次函数图象的开口向上．

∵方程x2－4x＋a＝0有两个不相等的实数根x1、x2，

∴二次函数图象与x轴的交点坐标为（x1，0）和（x2，0）．

当x＝1时，y＝a－3．

∵x1＜1＜x2，∴y＝a－3＜0，即a＜3．

故选D．

【方法四】二次函数的图象

解：由x2－4x＋a＝0，得－a＝x2－4x．

∴方程x2－4x＋a＝0有两个实数根x1、x2相当于函数y＝x2－4x与y＝－a的交点的横坐标．

当x＝1时，y＝x2－4x＝－3．

如图，当－a＞－3，即a＜3时，函数y＝x2－4x与y＝－a的交点的横坐标满足x1＜1＜x2．

故选D．

【视频解析】

【总结】与一元二次方程有关的问题可以转化成二次函数的问题，利用函数图象分析，简化解题过程．