相对论速度变换公式，相对论质能关系的由来

相对论速度变换公式，相对论质能关系的由来-Albert EinsteinThe atom M is a rich miser…...(1)关于质能关系的验证问题，核反应过程验证的是 E=Δmc2，这是个释放结合能的过程，并不是什么质量转化成了能量。有些涉及中子的核反应过程也被拿来作为质能关系的验证，因为中子质量是利用质能关系确定的，这种所谓的实验验证就涉嫌循环论证了。类似E=mc2这样的相对论标志式公式，其正确性更多地来自理论基础及其同其它理论的自洽性。提示：本文内容硬核，故摘要偏长，只读摘要也可。作者 | 曹则贤（中科院物理研究所研究员）

物质同能量之间的关系是个历史久远的问题。牛顿就曾发问过，物质和光之间难道不可以相互转换吗？对太阳发光机制以及对原子核放射性产物的动能来源的诘问，启发了关于物质与能量之间的等价关系和转化过程的思考。1900年，法国科学家庞加莱认为电磁场有动量 mv=(E/c²)c ，其中 E/c²等价于质量。1903年，意大利人德·普莱托假设以太以光速振荡，而物质是响应以太振荡的，故质量为m的物质具有 mc²的潜能。爱因斯坦首先从相对论的角度理解能量-质量(惯性)等价性的深刻含义。1905年爱因斯坦从相对性原理出发，考虑原子向相反方向发射两束光的过程，得到了关系 E=Δmc²，即原子发射出能量为E的光，相应的质量减少为E=Δmc²中的Δm 。爱因斯坦自相对性原理得到这个关系式，它意味着能量守恒和质量守恒的合并。受此启发，普朗克1907年研究了运动体系的动力学，给出了 M=(E₀ pV₀)/c²形式的纳入了热能的质能关系。在谈论质量-能量关系时，质量是惯性质量，或者干脆说就是惯性(Trägheit inertia)。

爱因斯坦得到的是 E=Δmc²形式的质能关系，其论证过程包括动能定义不正确、涉嫌循环论证以及未考虑广延物体同质点粒子之间区别等瑕疵。1911年，劳厄用能量-动量张量概念针对能量-动量张量不随时间变化的情形证明了质能等价关系。m=E/c²形式的质能等价关系的诠释是，静止参照框架内能量为E的广延体系，其作匀速运动时的动力学行为等同于一个质量为 m=E/c²的质点。1918年克莱因推广了劳厄的结果，他只需假设系统是闭合的而不要求能量-动量张量不依赖于时间，运用四维高斯定理得到了的质能等价关系，至此质能等价关系的推导才算尘埃落定。质能等价关系，一如别的物理思想，都是物理学这条连绵河流中的某个节点，都有其渊源。物理学不相信横空出世。

一般核物理过程涉及的质量-能量关系是 E=Δmc²。类似正负电子对湮灭的过程，对应的关系才是 E=mc²， 即质量各为m的电子-正电子，湮灭为一对光子时，光子的能量为 E=mc²。这个公式的图像中，质量和能量是有不同的载体的。关于质能关系有相当多的误解，其中较著名的有根据

臆造出什么静止质量同运动质量的区别。质量是粒子的标签，是一个相对论不变量。造成这种误解的一个根源是未习惯于用4-矢量和张量来理解相对论动力学，执其一点而随意发挥。在狭义相对论中，能量是以 E/c 的形式作为动量的分量，以及以能量体积密度的形式作为能量-动量张量的一个分量出现的，其变换由相应的洛伦兹变换得到。谈论质能关系以及能量-动量守恒问题时，应使用相对论动力学表示加洛伦兹变换的语言。

关于质能关系的验证问题，核反应过程验证的是 E=Δmc²，这是个释放结合能的过程，并不是什么质量转化成了能量。有些涉及中子的核反应过程也被拿来作为质能关系的验证，因为中子质量是利用质能关系确定的，这种所谓的实验验证就涉嫌循环论证了。类似E=mc²这样的相对论标志式公式，其正确性更多地来自理论基础及其同其它理论的自洽性。

提示：本文内容硬核，故摘要偏长，只读摘要也可。

作者 | 曹则贤（中科院物理研究所研究员）

The atom M is a rich miser…...⁽¹⁾

-Albert Einstein

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质量与能量

质量和能量是历史永久的科学概念。从前，质量和能量是两个独立的概念。从化学反应，化学家总结出了质量守恒定律。从落体的高度与速度之间的转化， 物理学家总结出了机械能守恒定律。动能-势能之间的转化，来自可见的高度与速度之间的转化，可视才是关键！机械能和热结合到一起，于是有了一般意义上的能量守恒定律。物理学家相信这样的守恒（不变性！）定律可以继续扩展到所有领域。比如，质量和能量也存在某种等价关系或者守恒律吗？

1704年，牛顿在《光学》一书中曾发出疑问：“重物和光不可以互相转化吗？”19世纪末，一个待解的物理之谜是太阳的能量来源与放射性过程所产生的高速粒子的动能问题。英国物理学家普莱斯顿（Samuel Tolver Preston 1844-1917）在 Physics of the Ether（以太的物理，1875）一书中指出，若将物质分成以太粒子，这些以光速传播的以太粒子则代表着巨大的能量。1903年，意大利人德·普莱托（Olinto de Pretto 1857-1921）则假设分子、原子和亚原子粒子都能响应以太的振动，因此质量为m的粒子包含量为 mv²（v是以太振荡速度，即光速）的潜能，来解释放射性粒子的动能问题。法国大学问家勒庞（Gustave Lebon 1841-1931）在Evolution de matière（物质的演化，1905）一书中指出，物质可完全分解为光，其能量为

，且称之为énergie intra-atomique （原子内的能量）。

质-能关系在庞加莱1900文章中是同一个悖论（电磁能的消灭与产生）相关联的。庞加莱认识到电磁能的行为如同具有惯性的流体，故他把“流动的”电磁场当成一种想象的流体（fluide fictive）。庞加莱提出了辐射动量的概念：若一定体积内封闭了电磁能量dE，则这种假想流体有动量，对应的质量为 dm=dE/c²。在 sur la dynamique de l’électron（论电子的动力学，1906）⁽²⁾一文中，庞加莱为电子引入的拉格朗日量形式为

，也即电子的势能为 U=mc² ，即静止的电子具有能量 E=mc²。在经典电磁学，一个粒子在电磁场中被电场加速做功，在dt时间内吸收能量为dW（来自电场方向），获得往前的动量（k 方向，来自洛伦兹力）为dW/c。而这些都来自电磁波，可以认定电磁波有关系p=E/c。19世纪末20世纪初的一段时间里，为了理解带电物体的质量如何依赖于静电场，那时已有电磁质量的说法，甚至分为纵向质量 m_L=m₀/(1-v²/c²)^3/2和横向质量 m_T=m₀/(1-v²/c²)^1/2。1904年，哈瑟诺尔（Friedrich Hasenöhrl 1874-1915）计算空腔里热的辐射压力效果，得出的结果是，拥有辐射能量的空腔的质量有一个明显的增量，

，后来又被修正为

。1907年，普朗克指出，吸收或者发射了热能的物体，其惯性质量变化为 m-M=E/c²。1907年，普朗克讨论了运动体系的动力学问题，给出过M=(E₀ pV₀)/ c²形式的质能等价表达式，为的是给出一个不依赖于速度的体系的质量。

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德·普莱托的质能关系

在意大利人德·普莱托1903年的文章中，公式 E=mc²已现身影，源于对以太和放射性问题的研究。德·普莱托注意到，几乎没有动能的原子核，其放射出来的粒子却具有极大的动能。放射性粒子的巨大动能必须有个来处，如果人们坚信能量守恒的话，则必须认为在物质内部潜伏着某些能量，其对我们总是隐藏的。

德·普莱托接下来论证的基础概念，依然是以太。在以太这种流体中寄存着宇宙的能量，无穷尽的能量，且此能量处于最简单的、最原初的形式（sotto la forma più semplice ed originaria）；其它的能量，例如光能、电能和热等等，不过是导出性的，是由运动引起的。以太一直在平衡位置附近连续振动，而这个快速运动应该原子或者分子甚至原子以下的粒子所接收到。如果整个物体都被无限小尺度上的运动激发了，非常快，象以太一样，那么可以认为这块物体，其中每个粒子都以同样的速度在空间中整体一起运动的这块物体，隐含着由这个物体的内部质量所表示的那么一坨能量（una somma di energia rappresentata dall'intera massa del corpo），也即对应的能量为mv²，v是以太振动的速度，即光速。这个论证导向一个出乎意料的、令人难以置信的结果。在一公斤的物质中，完全不为我们所感知，竟然储存着这么大量的沉睡的能量，足以抵得上万亿公斤的煤。这想法无疑地会被判定为太荒唐了（l'idea sarà senz'altro giudicata da pazzi）。一公斤的物质，以光速抛出，携带的能量之大难以想象。此一吓人的结果何时曾挑动过我们的神经呢？

德·普莱托的论证还包括对惯性（惰性）的理解。物质是惰性的（la materia è inerte），这不应被理解为“非能动的”。惰性一词指的是，物质真正的要务就是响应以太的行为。物质确实跟从以太的作用，可使用和储存其能量。

德·普莱托得出质量为m的物质携带量为mv²的潜能的结论，是基于以太的概念，论证过程包含不少错误，但自有其深刻的思想意义。但是，这个思考是我们走向正确理论的逻辑链条中的一环。爱因斯坦1905年发表了“物体的惯性依赖于其所蕴含能-量吗？”一文，其中的Energieinhalt （能的含量）一词在德·普莱托思想的基础上就非常容易理解。质量对应着一定的潜能，这个能的多少决定了物体的Trägheit，即惯性（质量）。质能关系里的质量是惯性（质量），惯性质量是物体存储的能量。

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爱因斯坦的质能关系

爱因斯坦1905年的经典文章“物体的惯性依赖于其所蕴含的能-量吗？”⁽³⁾，后来被当成是质能关系研究的起源。爱因斯坦设想一束光波在(x y z)坐标系⁽⁴⁾中的方向与x-轴成φ角，其能量为ε；在一沿x-轴方向以速度v运动的坐标系(ξ η ζ)中看来，能量为

。现在，假设一在(x y z)坐标系中静止的物体，能量为E₀，其在坐标系(ξ η ζ)中的能量为 H₀ 。此物体向与x-轴成φ角的方向和相反方向上同时发射在(x y z)坐标系中能量为L/2 的光。在(x y z)坐标系中，此物体保持静止；在坐标系(ξ η ζ)中，物体发射光前后速度应该相等。此过程在两个坐标系中都应该满足能量 (守恒) 原理。将物体发射后在(x y z)坐标系中和坐标系(ξ η ζ)中的能量分别记为 E₁和 H₁。则有

，

。显然，差 H₀-E₀或者 H₁-E₁只可能是物体的动能加上某个任意普适常数，即 H₀-E₀= T₀ Const. ；H₁-E₁= T₁ Const. 也即

。保留低阶项，T₀-T₁=1/2(L/c²)v²。这个结果可以这样理解，一个物体发出了能量为L的光辐射，则其质量就减少 Δm= L/c²。必须指出，这里的Δm是物体的质量损失，而L是光的能量—此公式中的质量和能量分属两个不同的主体。爱因斯坦接着说，如果本理论对应实际情况，则射线在发射体和吸收体之间传递了惯性（质量）。爱因斯坦的这个推导谈不上优美，实际上它备受批评，但它是自相对性原理的推导，意味着质量与能量之间的联系来自相对性原理的要求（postulate），意味着质量守恒和能量守恒的合并。1905年，相对论还只是崭露头角，相对论力学尚未建立起来，要求一下子得出正确的能量-动量表达是不现实的。爱因斯坦也知道自己推导的不严谨，他后来不停地想证明质能等价关系 （参阅爱因斯坦于1905 1906 1907 1907 1912 1935 1946发表的文章），跨度长达40年。1946年，爱因斯坦才把质能等价公式写成 E=mc²的形式，出现在文章的题目中。这个公式此处的寓意是：“质量为m的粒子，具有内禀能量mc²。” 爱因斯坦自己从未宣称拥有这个公式的优先权。

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电子-正电子湮灭

1928年，狄拉克提出了相对论量子力学方程，导致了反电子概念的提出和反电子的发现。反电子是1932年在电子-反电子对的产生过程中被发现的。电子-反电子对的发生可发生在如下的过程中，hv p → p e e^- ，光子在同质子的碰撞过程中转化为了电子-反电子对。在这个过程中，光子的能量转化成了两个具有确定质量的粒子，质能等价关系表现为 E_γ/c²→2m_e。这里比质能等价关系更重要的是，原本电中性的光，诱导了一团带正电和一团带负电的具有惯性的区域—有惯性质量的电荷的出现才是更重要的物理。反过来，当电子、反电子相遇会发生湮灭，

（取决于电子对的动能，可以产生两个以上的光子）。惯性质量全部湮灭了，转化成了光子携带的能量，m_ec²→E_γ。电子和正电子的质量为 0.91x10^-30kg，当电子和正电子湮灭为一对光子时，光子的能量最低为 511 keV。

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劳厄和克莱因的最终证明

既然认识到相对性原理是要求，那就要把物理定理转化（transfer）为相对性理论。就动力学而言，相对论的动力学一般来说是很复杂的。1911年，劳厄拓展了普朗克、闵可夫斯基等人关于动力学的工作。他从连续介质动力学着手，把连续介质动力学放到质点动力学之前逻辑上更显合理。劳厄讨论了把力改造为4-矢量形式 F 的问题，以及凑成正确的能量-动量张量的问题，能量-动量张量 T 的分量 ，T_xx，T_xy，…等应该分别如同 x²，xy，...那样作洛伦兹变换，见图(1)。经典动力学方程依然是 F=-▽·T 的形式，▽·T=0 对应的是能量-动量守恒。在相对论语境中，没有独立的能量、动量概念了。

图1. 能量-动量张量。能量-动量张量T是个对称张量，有10个独立分量，其中， T⁰⁰为能量体积密度乘上c^-2；Tⁱⁱ为压力分量， Tⁱ⁰为动量密度，T^ij为动量通量，i j=1 2 3 。

根据劳厄的结果，一个静止时总能量为E⁰的完全静态的系统，即内部没有流的系统，当它以速度v运动时，有

；

。记 m=E⁰/c²，则上述两个公式可以理解为，总能量为 E^0的完全静态的系统，作匀速运动时其行为如同质量为 m=E⁰/c²的质点。这是相对论质能关系在动力学语境下的诠释。

劳厄的推导事先假设静止参照框架下应力-能量张量是不依赖于时间的。以能量-动量张量为出发点，对分量 T^0μ作体积分得到总能量和动量。对静态闭合系统，守恒率 α_kT^kμ=0 意味着在静止框架中应力T^kl的体积分为零。从能量-动量张量分量的洛伦兹变换性质可以证明分量 T^0μ的体积分是一个4-矢量，即总能量和动量按照4-矢量变换，这要求

，

，此处 E₀ 是能量中心参照框架（动量为零的参照框架）下的能量。这样，这个问题的能量-动量形式就类似一个质量为 m=E/c²的粒子的形式了。1918年克莱因推广了劳厄的结果，他只需假设系统是闭合的，能量-动量张量守恒，沿世界管 (world tube) α_μT^μv=0 成立，运用四维的高斯定理，可对依赖时间的能量-动量张量得到质能关系。

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关于质能关系的再说明

关于质能关系的一个误解是把核反应的能量释放过程按照公式 E=Δmc²解释成了质量转化成了能量。其实，Δm 是反应前后粒子 (们) 的质量差，这个过程释放的是结合能。 E=Δmc²的意思是，结合能部分在反应前的粒子里贡献了大小为 E/c²的质量，这恰是诠释质量起源会用到的那套语言。 Δmc²反映的恰是原子核层面及其下的结合能远大于原子、分子层面的结合能。当我们反过来理解质量大于质量总和，也即能量成了质量起源的时候，会有另一种感觉。质能关系可用于理解核过程的能量释放问题，它也提供了粒子质量来源的问题—基本粒子每一个层面的质量都大于下一层面单元的质量总和，差别来自将构成单元结合到一起所需的能量。这个逻辑链条的尽头，一定着落到一个无质量的构成单元上。

在狭义相对论中，一个质量为m，（在某个参照框架内看来）速度为v的粒子，在这个参照框架内的能量为

。大量的相对论文献在此公式基础上任意发挥，臆造出静止质量和运动质量的说法，即在静止参照框架内，粒子的能量为 E=m₀c²；而质点若运动起来，

，若仍写成 E=mc²的形式，则有

，m₀被称为粒子的静止质量，m是粒子的运动质量。进一步的发挥则宣称粒子质量随着速度的增加而越来越大，并有人宣称实验证实了这一点，连爱因斯坦本人都信了这一点。

必须指出，理解物理要尽可能依托完整的物理图景，不可以在局部上任意发挥而罔顾学问整体上的自洽性。公式

表达的是一个质量为m的粒子运动时的能量，数学上是个 E=E（v）的函数，不可以把它总按照 E=mc²来理解得到一个质量随速度的变化—这种理解从数学、物理两个方面来看都是不合适的。粒子的质量，如同粒子的电荷、自旋，是粒子的标签。粒子质量就是静止质量，它是个不变量。公式 描述的是质量为m的粒子在给定参考框架内运动状态下所具有的能量。特别地要指出，把质量概念应用于光子更加需要谨慎。光子有能量，速度始终为c且没有参照物。笔者以为，不是光子是零质量粒子，而是关于光子，质量的概念无从谈起 （试看它的洛伦兹变换）！关于相对论语境下的能量问题，包括能量的转化与守恒，需要用严谨的动量4-矢量和能量-动量张量的相对论理论加以理解。具有动量p的质量为m的粒子，其能量-动量关系为 E²=p²c² m²c⁴ (Dirac 1928)，这才是正确的物理表述。

由最小作用量原理，自由粒子的作用量

，可得与时空共轭的四维动量矢量 (p_x，p_y，p_z；iE/c) ，这个四维矢量是洛伦兹变换不变的，故有 E²-(pc)²=E'²-(p' c)²=(mc²)²。能量-动量关系又称为色散关系，具有普适的物理意义。在狭义相对论发展的初期，爱因斯坦的某些认识也是不成熟的（劳厄就批评爱因斯坦对广延物体的内部动力学使用了非相对论近似），不可以奉为圭臬，更不可以背离科学的规范去任意发挥。

爱因斯坦的结论 E=Δmc²，有一个比较正确的推导过程。设想有质量为m的静止物体，其向相反方向发射两束电磁能量脉冲，能量各为 E/2 ，发射后该物体质量变为 m' ，但应该保持静止（位置不变），因为两束能量脉冲对应的动量数值各为 E/2c ，方向是相反的。现在，在一个沿着电磁能量脉冲方向以速度为v的观察者看来，基于洛伦兹变换，动量守恒关系应为

。根据相对论原理，在静止观察者眼中，物体发射电磁辐射前后位置不变，则在运动观察者眼中，物体发射电磁辐射前后的位置也不变，则必有 v'=v，即发射前后相对于观察者该物体的速度都是v，简化上式，得 E=(m-m' )c²。这个推导，就不象爱因斯坦的推导那样，需要作关于 v²/c²的一阶近似。

对粒子成立，但对广延物体是否成立，是需要认真考虑的。粒子的动能该是

。广延物体的相对论动力学具有内禀的复杂性，不能忽略广延体系的内部动力学。非相对论物理，可以近似地认为一个广延的物体的动能具有同样的形式，速度为质心的平动速度。伽利略的速度相加，使得一个粒子体系的平动动能之和可以表示为质心的动能加上相对质心的动能之和。相对论里的动能不能这样处理。一个物体的总能量为其静止时的能量加上动能的说法，只是近似正确。一个参照系中某个力已经对体系做功而在另一参照系中则尚未做功，当然能量就不一样啦。对于受力的广延物体，无法定义动能。不知道动能的形式，是无法得到质能关系的！动能的这个困难，使用应力-能量张量就解决了！

爱因斯坦1912年曾假设广延的物体有类粒子的能量表示，

，这个做法太直接了些。如果是这样，那还有啥好证明的，令v=0 ，即得 E=mc²。劳厄把建立所有形式能量的惯性（这才是真正的质-能等价性）的建立归功于爱因斯坦，是因为爱因斯坦首先从相对性原理的角度理解那个等价性的深刻含义。

有一些对损失质量-释放能量的过程进行测量以精确验证质能关系的研究，其中甚至用到 n ³³S→³³S γ 或者 n ²⁸Si→²⁹Si γ 这样的核反应过程。然而，带电粒子的质量由质谱测量方法可得到一个由电磁技术保证的精度，而中子质量是假设质能关系成立由实验结果得来的，若反过来被用于证明质能关系的精确程度，那就是循环论证了。类似 E=mc² 这样的结果，其正确性更多地来自其得来的理论基础及其同其它理论内容的自洽性。实验的意义，笔者以为在于实验结果同公式的明显偏差让人怀疑它的正确性；但是，以为这样的公式需要精确测量来验证其正确性，就太荒唐了。质能关系一直在使用，从未被验证——它也无需验证。笔者愿意再次强调，自洽性和完整性才是理论正确的保证（Self-consistency and integrity of a theory are the guarantee of its correctness）。

参考文献

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注释

(1) “原子是个富裕的吝啬鬼”，出自爱因斯坦1946年的文章。爱因斯坦接着为原子内潜伏着大量的能量而我们却未曾察觉提供了一个有趣的比喻：“一个不花钱的人你根本不知道他多富有。”

(2) 这个说法见于Christian Bizouard的文章 E = mc² l’équation de Poincaré Einstein et Planck (E = mc²：庞加莱、爱因斯坦和普朗克的方程)。但是，庞加莱1905，1906年的文章中似乎没有这个内容。

(3) 汉语把Energie energy翻译成了能量，正确的翻译按说是能。Energy content，或者爱因斯坦用的Energieinhalt，才是能的量。同样的 mass 反映的是物质的一种特性，quantity of mass 才是质的量。把energy 和 mass 翻译成了能量和质量，无形中强调了量(多少)，而很多时候它们指的是那种性质而不问量的多少

(4) 此处的几个坐标系应同时理解为参照框架。

本文摘自曹则贤 《相对论-少年版》，科学出版社2019年11月

来源：返朴

编辑：重光