有关平行线的中考题（平行线联袂三角板问题）

有关平行线的中考题（平行线联袂三角板问题）∵EF∥AB，∴∠DEF＝∠BAD＝50°，故选：C．【解答】∵∠C＝30°，∠ABC＝20°，∴∠BAD＝∠C ∠ABC＝50°，【解答】∵AB∥CD，∴∠4＝∠2＝50°，∴∠3＝∠4﹣∠1＝20°，故选：A．2．（2018秋•遵义期末）如图，直尺经过一副三角尺中的一块三角板DCB的顶点B，若∠C＝30°，∠ABC＝20°，则∠DEF度数为（ ）A．25° B．40° C．50° D．80°

学生手中几乎人人都有一副三角板，命题者也经常盯着这副三角板挖空心思编制了形形式式的三角板问题，今天重点来看看平行线联袂三角板问题。一副三角板是由一个锐角为30 °的直角三角板，另一个是45度的等腰直角三角板构成，也就是说一副三角板已经提供了30度、45度、60度、90度的已知角，再加上平行线的性质可以得到同位角、内错角相等、同旁内角互补的不同位置间角的数量关系以及对顶角相等来求出一些未知角的大小。这类问题多姿多彩，形式优美，已经成为各类考试的热点题型，学习时应注意关注。

类型1、平行线"穿越"三角板的顶点

1．（2018秋•宝安区期末）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3的度数等于（ ）

A．20° B．30° C．50° D．80°

【解答】∵AB∥CD，∴∠4＝∠2＝50°，∴∠3＝∠4﹣∠1＝20°，故选：A．

2．（2018秋•遵义期末）如图，直尺经过一副三角尺中的一块三角板DCB的顶点B，若∠C＝30°，∠ABC＝20°，则∠DEF度数为（ ）

A．25° B．40° C．50° D．80°

【解答】∵∠C＝30°，∠ABC＝20°，∴∠BAD＝∠C ∠ABC＝50°，

∵EF∥AB，∴∠DEF＝∠BAD＝50°，故选：C．

3．（2018秋•太原期末）如图，将含30°角的直角三角板ABC的直角顶点C放在直尺的一边上，已知∠A＝30°，∠1＝40°，则∠2的度数为（ ）

A．55° B．60° C．65° D．70°

【解答】：∵EF∥MN，∠1＝40°，∴∠1＝∠3＝40°，

∵∠A＝30°，∴∠2＝∠A ∠3＝70°，故选：D．

4（2018秋•龙岗区期末）如图，将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若∠1＝20°，则∠2的度数是（ ）

A．30° B．40° C．50° D．60°

【解答】如图，∵∠BEF是△AEF的外角，∠1＝20°，∠F＝30°，

∴∠BEF＝∠1 ∠F＝50°，

∵AB∥CD，∴∠2＝∠BEF＝50°，故选：C．

5．（2018秋•龙华区期末）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC，按如图所示方式放置，其中A、B两点分别落在直线m、n上，若∠1＝25°，则∠2的度数是（ ）

A．25° B．30° C．35° D．55°

【解答】∵直线m∥n，∴∠3＝∠1＝25°，

又∵三角板中，∠ABC＝60°，∴∠2＝60°﹣25°＝35°，故选：C．

6．（2018秋•朝阳区期末）如图，直尺的一条边经过一个含45角的直角顶点直尺的一组对边分别与直角三角尺的两边相交，若∠1＝30°，则∠2的度数是（ ）

A．30° B．45° C．60° D．75°

【解答】如图，∵∠ACB＝90°∴∠1 ∠3＝90°，

∵∠1＝30°，∴∠3＝60°，

∵a∥b，∴∠2＝∠3＝60°，故选：C．

7．（2018秋•历下区期末）如图，直线a∥b，将三角尺的直角顶点放在直线b上，若∠1＝35°，则∠2等于（ ）

A．45° B．55° C．35° D．65°

【解答】如图，∵∠1＝35°，∴∠3＝180°﹣35°﹣90°＝55°，

∵a∥b，∴∠2＝∠3＝55°．故选：B．

8．（2018秋•丹江口市期末）如图，将三角板与直尺贴在一起，使三角板的直角顶点C（∠ACB＝90°）在直尺的一边上，若∠2＝56°，则∠1的度数等于（ ）

A．54° B．44° C．24° D．34°

【解答】如图，∵两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，

∴∠3＝∠2＝56°，

又∵∠1 ∠3＝∠ACB＝90°，∴∠1＝90°﹣56°＝34°，即∠1的度数等于34°．

故选：D．

类型2、平行线"穿越"三角板的边

9．（2018秋•织金县期末）已知直线l1∥l2，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1＝35°，则∠2等于（ ）

A．25° B．35° C．40° D．45°

【解答】∵∠3是△ADG的外角，∴∠3＝∠A ∠1＝30° 35°＝65°，

∵l1∥l2，∴∠3＝∠4＝65°，

∵∠4 ∠EFC＝90°，∴∠EFC＝90°﹣65°＝25°，∴∠2＝25°．故选：A．

10．（2018秋•大石桥市校级月考）把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠2＝140°，则∠1的度数为（ ）

A．50° B．35° C．40° D．45°

【解答】如图，∵BC∥DE，∴∠2＝∠3＝140°．

∵∠3＝∠A ∠1，而∠A＝90°，∴∠1＝140°﹣90°＝50°，故选：A．

11．（2018春•渝中区校级期中）如图，将一块三角板叠放在直尺上，若∠1＝25°，则∠2的度数为（ ）

A．55° B．65° C．75° D．80°

【解答】如图，∵∠1＝∠ABC＝25°，∴∠ACB＝90°﹣∠ABC＝65°，

∴∠WCE＝∠ACB＝65°，

∵BC∥EF，∴∠2＝∠WCE＝65°．

故选：B．

12．（2018春•贵阳期末）将一把直尺与一块三角尺如图放置，若∠1＝52°，则∠2的度数是（ ）

A．152° B．138° C．142° D．128°

【解答】∵∠1＝52°，∴∠3＝90°﹣∠1＝90°﹣52°＝38°，

∵直尺的两边互相平行，∴∠3＝∠4＝38°

∴∠2＝180°﹣38°＝142°，故选：C．

13．（2018•海口模拟）如图，直线a∥b，直角三角板的直角顶点落在直线a上，若∠1＝54°，则∠2等于

（ ）

A．36° B．45° C．46° D．54°

【解答】∵a∥b，∴∠1＝∠3＝54°，

∵直角三角板的直角顶点在直线a上，

∴∠2＝90°﹣∠3＝36°，故选：A．

14．（2018春•岳麓区校级期末）把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1＝43°，则∠2的度数为______．

【解答】∵∠1＝43°，∴∠3＝90°﹣∠1＝90°﹣43°＝47°，

∴∠4＝180°﹣47°＝133°，

∵直尺的两边互相平行，∴∠2＝∠4＝133°．故答案为：133°．

类型3 一套三角板的组合探究问题

15．（2018秋•淮安期末）若将一副三角板按如图所示的方式放置，则下列结论不正确的是（ ）

A．∠1＝∠3B．如果∠2＝30°，则有AC∥DE

C．如果∠2＝30°，则有BC∥ADD．如果∠2＝30°，必有∠4＝∠C

【解答】∵∠CAB＝∠EAD＝90°，

∴∠1＝∠CAB﹣∠2，∠3＝∠EAD﹣∠2，

∴∠1＝∠3．∴（A）正确．

∵∠2＝30°，∴∠1＝90°﹣30°＝60°，

∵∠E＝60°，∴∠1＝∠E，∴AC∥DE．∴（B）正确．

∵∠2＝30°，∴∠3＝90°﹣30°＝60°，

∵∠B＝45°，∴BC不平行于AD．∴（C）错误．

由AC∥DE可得∠4＝∠C．∴（D）正确．故选：C．

16．（2018秋•榆林期末）如图，将一副三角板如图放置，∠BAC＝∠ADE＝90°，∠E＝45°，∠B＝60°，若AE∥BC，则∠AFD＝（ ）

A．75° B．85° C．90° D．65°

【解答】∵∠C＝30°，AE∥BC，∴∠EAC＝∠C＝30°，

又∵∠E＝45°．∴∠AFD＝∠E ∠EAC＝45° 30°＝75°．故选：A．

17．（2018秋•洛阳期末）将一副三角板如图放置，使点A在DE上，BC∥DE，则∠ACE的度数为________ ．

【解答】∵BC∥DE，∴∠BCE＝∠E＝30°，

∴∠ACE＝∠ACB﹣∠BCE＝45°﹣30°＝15°，

故答案为：15°．

18．（2018秋•宁德期末）将一块60°的直角三角板DEF放置在45°的直角三角板ABC上，移动三角板DEF使两条直角边DE、DF恰分别经过B、C两点，若EF∥BC，则∠ABD＝______ °．

【解答】∵将一块60°的直角三角板DEF放置在45°的直角三角板ABC上，

∴∠E＝30°，∠ABC＝45°，

∵EF∥BC，∴∠DBC＝∠E＝30°，∴∠ABD＝45°﹣30°＝15°，故答案为：15

19．（2018春•嘉祥县期末）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的直角三角板的一个顶点在纸条的另一边外侧，则∠1的度数是______ ．

【解答】如图，由题意知AB∥CD、∠HCD＝30°、∠GEH＝90°，

过点E作EF∥CD，∴∠HEF＝∠HCD＝30°，

∴∠GEF＝∠GEH ∠HEF＝120°，

∵AB∥CD、EF∥CD，∴AB∥EF，∴∠1＝∠GEF＝120°，故答案为：120°．

20.（2018秋•德惠市期末）三角板是学习数学的重要工具，将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点C按如图方式叠放在一起，当0°＜∠ACE＜90°且点E在直线AC的上方时，解决下列问题：（友情提示：∠A＝60°，∠D＝30°，∠B＝∠E＝45°）．

（1）①若∠DCE＝45°，则∠ACB的度数为_____ ；

②若∠ACB＝140°，则∠DCE的度数为 ；

（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．

（3）这两块三角板是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE的角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．

【分析】本题考查的是三角形内角和定理的应用、平行线的判定，解题时注意：如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角．

（1）①根据∠DCE＝45°，∠ACD＝∠BCE＝90°，结合图形计算即可；②根据∠ACB＝140°，∠ACD＝∠BCE＝90°，结合图形计算即可；

（2）仿照（1）中的算法即可得到∠ACB与∠DCE的数量关系；

（3）依据0°＜∠ACE＜90°且点E在直线AC的上方，利用平行线的判定定理，分两种情况讨论即可．

【解答】（1）①∵∠ACD＝90°，∠DCE＝45°，

∴∠ACE＝45°，

∴∠ACB＝90° 45°＝135°，

故答案为：135°；

②∠ACB＝140°，∠ACD＝∠ECB＝90°，

∴∠ACE＝140°﹣90°＝50°，

∴∠DCE＝∠DCA﹣∠ACE＝90°﹣50°＝40°；

故答案为：40°；

（2）∠ACB与∠DCE互补．理由：

∵∠ACD＝90°，

∴∠ACE＝90°﹣∠DCE，

又∵∠BCE＝90°，

∴∠ACB＝90° 90°﹣∠DCE，

∴∠ACB ∠DCE＝90° 90°﹣∠DCE ∠DCE＝180°，

即∠ACB与∠DCE互补；

（3）存在一组边互相平行，

当∠ACE＝45°时，∠ACE＝∠E＝45°，此时AC∥BE；

当∠ACE＝30°时，∠ACB＝120°，此时∠A ∠ACB＝180°，故AD∥BC．

类型4 一套三角板的变换探究问题

21．（2013秋•无为县期末）如图1，将一副三角板，如图放置在桌面上，让三角板OAB的30°角顶点与三角板OCD的直角顶点重合，边OA与OC重合，固定三角板OCD不动，把三角板OAB绕着顶点O顺时针转动，直到边OB落在桌面上为止．

（1）如图2，当三角板OAB转动了20°时，求∠BOD的度数；

（2）在转动过程中，若∠BOD＝20°，在图3两图中分别画出∠AOB的位置，并求出转动了多少度？

（3）如图4，在转动过程中，∠AOC与∠BOD有怎样的等量关系，请你给出相等关系式，并说明理由．

【分析】（1）根据旋转角相同，可得∠COA的度数，根据三个角的和等于90°，可得答案；

（2）分OB在OD的左边或右边两种情况讨论即可求解；

（3）分OB在OD的左边或右边两种情况讨论即可求解．

【解答】（1）∵根据旋转得出∠COA＝20°，

又∵∠AOB＝30°，∠DOC＝90°，

∴∠BOD＝90°﹣30°﹣20°＝40°；

（2）如图3，图3中第一个的旋转角度是90°﹣20°﹣30°＝40°，

第二个的旋转角度是90° 20°﹣30°＝80°；

（3）如图4，图4的第一个图形中，∠AOC ∠BOD＝90°﹣30°＝60°，

第二个图形中，∠AOC﹣∠BOD＝∠DOC﹣∠BOA＝90°﹣30°＝60°．

【点评】本题考查了角的有关计算的应用，主要考查学生的计算能力，此题是一道比较好的题目，有一定的难度．

22．（2018春•邗江区期中）如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起；如图2，其中∠ACB＝30°，∠DAE＝45°∠BAC＝∠D＝90°．固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE＝α（0°＜α＜180°）．

（1）当α为______度时，AD∥BC，并在图3中画出相应的图形；

（2）当△ADE 的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，写出旋转角 α的所有可能的度数；

（3）当0°＜α＜45°时，连结BD，利用图4探究∠BDE ∠CAE ∠DBC值的大小变化情况，并给出你的证明．

【分析】（1）根据AD∥BC，再根据三角板的度数即可求出α的度数；

（2）要分5种情况进行讨论，分别画出图形，再分别计算出度数即可；

（3）先设BD分别交AC、AE于点M、N，在△AMN中，∠AMN ∠CAE ∠ANM＝180，再根据∠ANM＝∠E ∠BDE，∠AMN＝∠C ∠DBC，得出∠E ∠BDE ∠CAE ∠C ∠DBC＝180°，然后根据∠C＝30°，∠E＝45°，即可得出∠BDE ∠CAE ∠DBC的度数．

【解答】（1）∵AD∥BC，∴∠FGC＝∠D＝90°，

∵∠C＝30°，∴∠AFD＝∠CFG＝60°，∴∠DAF＝30°，

∵∠DAE＝45°，∴∠CAE＝15°，∴当α为 15度时，AD∥BC；

故答案为：15；

（2）当△ADE的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，旋转角α的所有可能的度数是：15°，45°，105°，135°，150°；

（3）当0°＜α＜45°，∠BDE ∠CAE ∠DBC＝105°，保持不变；

理由如下：

设BD分别交AC、AE于点M、N，

在△AMN中，∠AMN ∠CAE ∠ANM＝180，

∵∠ANM＝∠E ∠BDE，∠AMN＝∠C ∠DBC，

∴∠E ∠BDE ∠CAE ∠C ∠DBC＝180°，

∵∠C＝30°，∠E＝45°，

∴∠BDE ∠CAE ∠DBC＝105°

总结：两条平行线"穿越"三角板无论过顶点还是经过三角板的边都会产生两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。其实以上很多题目都是一回事，一个类型，在几何运动变换中蕴藏着很多不变的结论。比如：最后一题的图（1）和图（2）相当于图形的旋转，但无论怎么旋转∠1与∠2之间的数量关系不变。

直线a、b上下平移，直线a与CB相交成的∠2，直线b与AB相交成的∠1始终有∠1 ∠2=60°

在平时的学习中把同类型的题目进行有意识的归类并整理，有心人只要动动手，动动眼，动动脑就一定会发现其中的奥妙之处