机械能守恒定律与动能定理关系：如虚如实说能量与能量转换之机械能
机械能守恒定律与动能定理关系：如虚如实说能量与能量转换之机械能当时最著名的发明家是阿基米德（Archimedes，公元前287—公元前212）（图2）。阿基米德出生于意大利西西里岛的海港城市锡拉丘兹（Syracuse）。他的父亲是国王的亲戚，也是位著名学者。阿基米德年轻时曾去埃及的亚历山大城，师从著名的数学家欧几里得（Euclid，约公元前330年—公元前275年）。他学成后回到家乡，一直是国王的好友、重臣。一次，国王委托他建造了一艘能载600人的大船，大船建好后发现漏水，他就设计了一个螺旋式的抽水机（图3（a）），摇动手柄就可以抽水，十分方便。这个设计至今在世界各地还在使用。他的另一个发明是里程表（图3（b）），这个里程表是个小车，推动小车就可以丈量走过的里程。阿基米德最出名的故事是发现了物质的比重：国王做了一个金冠，却无法确定金冠是不是纯金的，于是请来阿基米德帮助鉴定。阿基米德久思不得其解。一天，他在水盆中洗澡时无意间把手放进了澡盆，澡盆中的水因
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能量（Energy）是个很大的题目。能量有多种形式，包括机械能、热能、电能、光能、声能、化学能、原子能等。机械能又分为动能和势能（包括重力势能和弹性势能）。当电场交变时会和磁场交变耦合在一起，产生电磁能。不同形式的能量可以互相转换。有些形式的能量易于存储，有些难以控制。人类的科学进步史就是开发和使用各种能量的历史。在这里，我们将讲述一系列科学家与工程师们发现与发明各种能量和能量转换的故事。他们的努力成就了我们今天的生活。
我们无时无刻不在使用各种形式的能量。表1给出了各种形式能量转换的一些例子。表中的各行可以看成输入的能量，表中的各列可以看成转换后输出的能量。例如蒸汽机的输入是热能，输出是动能。又如举重时举起杠铃是输入动量，输出的位置势能使举重者感觉到重力。类似的例子还有很多。
表1，各种形式转换的一些结果
人的生活无非是衣食住行。“衣”需要纺织（机械），“食”需要加热（热能），“住”需要建造（机械），“行”需要车船（机械）。所以人们最先研究的是机械能与热能。
我们先来看看机械能。
早在两千多年前，古埃及、古希腊、古中国都已经发明了各种机械装置。到了公元前400左右，古希腊人对机械做了比较系统地研究。他们精于几何，首先研究了一些基本的机械元件，如杠杆（Lever）、碶子（Wedge）、斜面（Inclined plane）、螺丝（Screw）、滑轮（Pulley）、轮轴（Wheel and axle）（图1）。利用这些基本机械元件就可以做出各种各样的机械装置。机械这个词的英文“Mechanics”源自古希腊语，原意为把舞台上布景拉起来的装置。把舞台上的布景拉起来用的就是滑轮。
图1，基本机械元件
当时最著名的发明家是阿基米德（Archimedes，公元前287—公元前212）（图2）。阿基米德出生于意大利西西里岛的海港城市锡拉丘兹（Syracuse）。他的父亲是国王的亲戚，也是位著名学者。阿基米德年轻时曾去埃及的亚历山大城，师从著名的数学家欧几里得（Euclid，约公元前330年—公元前275年）。他学成后回到家乡，一直是国王的好友、重臣。一次，国王委托他建造了一艘能载600人的大船，大船建好后发现漏水，他就设计了一个螺旋式的抽水机（图3（a）），摇动手柄就可以抽水，十分方便。这个设计至今在世界各地还在使用。他的另一个发明是里程表（图3（b）），这个里程表是个小车，推动小车就可以丈量走过的里程。阿基米德最出名的故事是发现了物质的比重：国王做了一个金冠，却无法确定金冠是不是纯金的，于是请来阿基米德帮助鉴定。阿基米德久思不得其解。一天，他在水盆中洗澡时无意间把手放进了澡盆，澡盆中的水因此漫出，他忽然想到不同物质的密度不同，因此同样重量的不同物质排出的水量不同。他光着身子冲到大街上高声大叫“Eureka！Eureka！”（我发现了）。从此，“Eureka”就成了科学家们追求的一个境界。他还有一句名言：“给我一条足够长的杠杆和一个支点，我将撬起整个世界”。
图2，阿基米德
阿基米德生活的年代正值罗马人入侵。为了保卫自己的家乡，他设计好几个守城的利器。其中一个是抓船机（图3（c）），那是一个高高架起的杠杆，在城里的一头拴着平衡石块，在城外的一头拴一个爪子，可以把船勾住掀翻。另一个是聚光镜，据说可以集聚太阳光线，点燃船只（图3（d））。这些机械装置让罗马人尝尽了苦头。公元前212年，罗马人最后破城。破城之日，领军的将军明令不可伤害阿基米德。当时一个士兵见到一个老人坐在地上思考，就命令他站起来。阿基米德没有听见，士兵就把他刺死了。临死前阿基米德只说了一句：“不要动我的圆（do not disturb my cycle）”。罗马将军十分懊恼，他隆重地安葬了阿基米德，并在他的墓碑上刻上了一个圆圈。
阿基米德是古代最杰出的数学家之一，他的发现包括阿基米德螺线、曲线的斜率、长方形的内切圆、等等。
图3，阿基米德设计的机械
古希腊人虽然了解机械，却不了解机械能。这里有几个原因。一是古希腊人和古罗马人用符号来表示数字，1是“I”，2是“II”，3是“III”，4是“IV”，5是“V”，等等。他们也没有“0”的概念，因此无法写出数学方程，更无法进行复杂的计算。此外，当时测量方法太简陋，无法进行准确地测量。
中世纪的时候，穆斯林的学者们从印度引进了数字系统（现在被称为阿拉伯数字）并发明了代数。他们还设计了各种各样的机械系统，但仍然没有理解机械能。
首先获得突破的是伟大的牛顿（Isaac Newton，1643—1727）（图4）。牛顿有好几个名垂青史的工作：万有引力、微积分、光学、牛顿力学。微积分与牛顿力学是机械能的基础。牛顿力学的三个定律是：
- 物体保持静止或做匀速直线运动；
- 物体的动量随时间的变化率与该物体所受的外力成正比，并与外力的方向相同，即，其中，为物体所受的外力，为物体的质量；为物体动量的变化率（加速度）；
- 相互作用的两个物体之间的作用力和反作用力大小相等，方向相反。
力虽然能够感觉得到，但既看不见也难以测量。牛顿力学的三个定律，特别是第二定律，体察入微。真不知道他是怎样想到的。
牛顿在研究天体运行的时候发现了力学。同时他还发明了微积分。微积分的关键理念是无穷小。讲的无穷小，读者也许会想到无限分割。无限分割自古有之。阿基米德就曾经用这个方法计算出圆和螺线的面积。在中国三国时代（220—280）的刘徽也用这个方法计算圆周率。然而，无穷小的概念不一样，它追求的从有到无的变化过程及其结果。
图4，牛顿
在牛顿之前的笛卡尔（René Descartes，1596-1650）发明了坐标系，把几何与代数联系在一起，为微积分打下了基础。牛顿引入了导数的概念，他举了一个计算立方体积的例子：
立方体的边长为，当增长为时，立方体的体积从变为; 由于，因此增量为；除上的增量，得到： ，代入让增量消失（无穷小），最后得到立方体的增量为。
这个结果是正确的，但推导却有问题。推导时先是假定，然后再假定，显然有些自相矛盾。这时，莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646—1716）给出了另外一种解决方法。
莱布尼茨出身于一个德国学者家庭（图5）。他的父亲和外公都是法学教授。他自幼沉浸在父亲的小图书馆里，博览群书。他6岁时父亲过世，他更加努力学习，14岁进入法学院，19岁修完了所有的课程。但由于太年轻，不得不到别的学校继续学习了一年，才拿到了法学博士的学位。莱布尼茨是一位成功的外交家、律师。但在数学和哲学上的贡献才使他青史留名。1672—1676年他在巴黎工作期间，结识了惠更斯（Christiaan Huygens 1629—1695）及当时许多著名的学者，并发表了一些论文。1673年，他还去了一次伦敦，接受了英国皇家学院院士的荣衔。1675年他听说了牛顿的工作后，就把自己关于微积分研究的手稿寄到伦敦，请他的朋友代转给牛顿。牛顿回信表示赞赏（这一段后来被他自己删掉了），并说自己已经解决了微积分的问题。不过信中只有一堆难以理解的符号与描述，让人不得要领。1684年，莱布尼茨发表了他的微积分理论。当时牛顿已经名满天下，是英国皇家协会的主席。他控告莱布尼茨剽窃，并以英国皇家学会的名义把微积分的发明归功于己。实际上，莱布尼茨用的方法颇为不同，他的推证是基于几何的，直指“变化”的要点。他把求导记为“”（即求当变化时，变化的方向），而牛顿用的是。从可以导出积分。
因此实际上是莱布尼茨发明—完善了微积分。微积分（calculus）一词也是他定义的，意为计算的方法。
图5，莱布尼茨
莱布尼茨与牛顿很不一样。牛顿不善言谈，他的思想天马行空，常人难以理解。莱布尼茨是律师，能言善道，交游甚广，有许多朋友和学生。微积分的理论最终在莱布尼茨的学生们手中得以完善。他胸怀宽广，虽然受到牛顿的屈抑，但还是十分敬重牛顿。有一次和普鲁士国王谈起数学，他说从世界开始以来到牛顿，牛顿所做的工作比所有工作总和的一半还要多（Taking mathematics from the beginning of the world to the time when Newton lived what he has done is much the better part）。”诚然，牛顿是实至名归，但我们都不会忘记莱布尼茨的贡献。
莱布尼茨在数学上的贡献还有矩阵与二进制。他发明了二进制，认为那是最具有普遍性的、最完美的逻辑语言。后来他看到了中国的八卦图，还写了一篇文章，认为八卦就是二进制，里面含有上帝造物的密码。莱布尼茨和牛顿一样，终身未婚。
通过牛顿莱布尼茨的微积分，我们可以理解机械运动与机械能。机械运动由牛顿力学来描述。机械能是机械系统中的能量。机械能可以分为动能与势能。动能（Kinetic energy）首先是莱布尼兹和约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667—1748）提出来的，后来由英国科学家托马斯·杨（Thomas Young，1773—1829）定义。“Kinetic”这个词来自希腊语“kinesus”，意为运动。当一个质量为的物体以速度运动时，它的动能就是。势能（Potential energy）是苏格兰科学家威廉·兰金（William John Macquorn Rankine，1820—1872）最先定义的。后来人们又把它细分为位置势能与弹性势能。位置势能顾名思义是由位置确定的，当一个质量为的物体在离地面的高度为 时，它的位置势能就是，这里是地心引力。弹性势能则由物体的变形所决定。当一个物体的变形为的时候，它的弹性势能就是。动能和势能可以互相转换，这样的例子在日常生活中就有很多。
（a）从位置势能变成动能
（b）从弹性势能变成动能 图7，动能与势能的相互转换
不过，用牛顿力学的方法来求解复杂的运动问题却不容易。例如，地球绕太阳运行是所谓“两物体运动问题”（图8（a）），用一组方程（地球与太阳之间的引力方程）可以解出。牛顿解决了这个问题，从而推证出地球绕日运行的规律。但月球围绕地球转、地球围绕太阳转是“三物体运动问题”（图8（b）），需要三组方程（月球与地球之间的引力方程、地球与太阳之间的引力方程、月球与太阳之间的引力方程），很难解决。拖了很多年也还没人能够解决。
图8，两物体问题与三物体问题
这个问题是怎样解决了的呢？且听下回分解 。
撰文：杜如虚（加拿大工程院院士）
排版&编辑 | Mosh魔时
