线性变换矩阵及乘法怎么算（线性变换矩阵及乘法）
线性变换矩阵及乘法怎么算（线性变换矩阵及乘法）向量 (1 1.5) 在变换后的位置 其实就是变换后基向量的线性表示 也可以看到矩阵的乘法是如何计算的:一旦明白了基底的变化 那么整个线性变换也就清楚了 - 因为所有向量的变化都可以由改变后的基向量线性表出. 观察下面红色向量(1 1.5) 和 绿色向量(-1 -3) 变换后落脚的位置:水平方向伸展了 2 倍;浅红色方格在变换后面积变成了原来的 2 倍 这里其实就是行列式的意义 - 面积的扩张倍率 Det(A)=2再看到更多矩阵变换之前 先停下来看看下面静态图片的进一步解释:
线性变换是线性空间中的运动 而矩阵就是用来描述这种变换的工具. 这样说还是没有直观印象 所以还是直接看图解的动画吧.
矩阵不仅仅只是数值的表:
其实表示了在该矩阵的作用下 线性空间是怎样的变化 观察下图二维平面中水平和垂直方向的伸缩过程:
从上面动画中可以观察到:
-
垂直方向并没有发生任何变换(A 的第二列没有变化);
-
水平方向伸展了 2 倍;
-
浅红色方格在变换后面积变成了原来的 2 倍 这里其实就是行列式的意义 - 面积的扩张倍率 Det(A)=2
再看到更多矩阵变换之前 先停下来看看下面静态图片的进一步解释:
一旦明白了基底的变化 那么整个线性变换也就清楚了 - 因为所有向量的变化都可以由改变后的基向量线性表出. 观察下面红色向量(1 1.5) 和 绿色向量(-1 -3) 变换后落脚的位置:
向量 (1 1.5) 在变换后的位置 其实就是变换后基向量的线性表示 也可以看到矩阵的乘法是如何计算的:
类似对于(-1 -3) 变换后的位置 也是一样的计算方法:
可以再次观察上面动画来体会 验证算出的结果.
下面再看其他的变换矩阵这里矩阵 A 的对角线中(0 2)含有一个 0 的情况 观察下面动画 :
可以看到:
-
水平方向变为 0 倍;
-
垂直方向被拉伸为 2 倍;
-
面积的变化率为 0 倍 也就是 Det(A) = 0;
基底的变化如下:
再看看下面这个矩阵 A 的变换:
可以看到:
-
整个空间向左倾斜转动;
-
面积放大为原来的 Det(A) = 3.5 倍;
上面在 3 个不同的矩阵作用下(相乘) 整个空间发生不同的变换 但是原点没有改变 且直线依然还是直线 平行的依然保持平行 这就是线性变换的本质.
类似 在三维线性空间内 矩阵也用于这样的线性变换 需要注意的是这里行列式可以看成经过变换后体积变化的倍率. 观察下图 经过下面矩阵 A 的变换中 空间会经过镜像翻转变换(扁平化为线) 所以行列式的值会是负数.
上面就是本次图解到了一些线性代数知识点. 好了 现在让我们在下一篇【行列式】中再见!
因为本人水平有限 疏忽错误在所难免 希望各位老师和朋友多提宝贵意见 帮助我改进这个系列 感谢感谢啦!
相关图解线性代数文章:
【向量】- 01
【基底 / 线性组合 / 线性无关(相关)】 02
