补码运算结果是补码还是原码(计算机的原码反码)
补码运算结果是补码还是原码(计算机的原码反码)原码就是符号位加上真值的绝对值 即用第一位表示符号 其余位表示值. 比如如果是8位二进制:在探求为何机器要使用补码之前 让我们先了解原码 反码和补码的概念.对于一个数 计算机要使用一定的编码方式进行存储. 原码 反码 补码是机器存储一个具体数字的编码方式. 那么,这里的 00000011 和 10000011 就是机器数。因为第一位是符号位,所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上面的有符号数 10000011,其最高位1代表负,其真正数值是 -3 而不是形式值131(10000011转换成十进制等于131)。所以,为区别起见,将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。例:0000 0001的真值 = 000 0001 = 1,1000 0001的真值 = –000 0001 = –1
一. 机器数和真值
在学习原码 反码和补码之前 需要先了解机器数和真值的概念.
1、机器数一个数在计算机中的二进制表示形式 叫做这个数的机器数。机器数是带符号的,在计算机用一个数的最高位存放符号 正数为0 负数为1.
比如,十进制中的数 3 ,计算机字长为8位,转换成二进制就是00000011。如果是 -3 ,就是 10000011 。
那么,这里的 00000011 和 10000011 就是机器数。
2、真值因为第一位是符号位,所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上面的有符号数 10000011,其最高位1代表负,其真正数值是 -3 而不是形式值131(10000011转换成十进制等于131)。所以,为区别起见,将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。
例:0000 0001的真值 = 000 0001 = 1,1000 0001的真值 = –000 0001 = –1
二. 原码 反码 补码的基础概念和计算方法.在探求为何机器要使用补码之前 让我们先了解原码 反码和补码的概念.对于一个数 计算机要使用一定的编码方式进行存储. 原码 反码 补码是机器存储一个具体数字的编码方式.
1. 原码原码就是符号位加上真值的绝对值 即用第一位表示符号 其余位表示值. 比如如果是8位二进制:
[ 1]原 = 0000 0001
[-1]原 = 1000 0001
第一位是符号位. 因为第一位是符号位 所以8位二进制数的取值范围就是:
[1111 1111 0111 1111]
即
[-127 127]
原码是人脑最容易理解和计算的表示方式.
2. 反码反码的表示方法是:
正数的反码是其本身
负数的反码是在其原码的基础上 符号位不变,其余各个位取反.
[ 1] = [00000001]原 = [00000001]反
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反
可见如果一个反码表示的是负数 人脑无法直观的看出来它的数值. 通常要将其转换成原码再计算.
3. 补码补码的表示方法是:
正数的补码就是其本身
负数的补码是在其原码的基础上 符号位不变 其余各位取反 最后 1. (即在反码的基础上 1)
[ 1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补
对于负数 补码表示方式也是人脑无法直观看出其数值的. 通常也需要转换成原码在计算其数值.
三. 为何要使用原码 反码和补码在开始深入学习前 我的学习建议是先"死记硬背"上面的原码 反码和补码的表示方式以及计算方法.
现在我们知道了计算机可以有三种编码方式表示一个数. 对于正数因为三种编码方式的结果都相同:
[ 1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补
所以不需要过多解释. 但是对于负数:
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补
可见原码 反码和补码是完全不同的. 既然原码才是被人脑直接识别并用于计算表示方式 为何还会有反码和补码呢?
首先 因为人脑可以知道第一位是符号位 在计算的时候我们会根据符号位 选择对真值区域的加减. (真值的概念在本文最开头). 但是对于计算机 加减乘数已经是最基础的运算 要设计的尽量简单. 计算机辨别"符号位"显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂! 于是人们想出了将符号位也参与运算的方法. 我们知道 根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数 即: 1-1 = 1 (-1) = 0 所以机器可以只有加法而没有减法 这样计算机运算的设计就更简单了.
于是人们开始探索 将符号位参与运算 并且只保留加法的方法. 首先来看原码:
计算十进制的表达式: 1-1=0
1 - 1 = 1 (-1) = [00000001]原 [10000001]原 = [10000010]原 = -2
如果用原码表示 让符号位也参与计算 显然对于减法来说 结果是不正确的.这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数.
为了解决原码做减法的问题 出现了反码:
计算十进制的表达式: 1-1=0
1 - 1 = 1 (-1) = [0000 0001]原 [1000 0001]原= [0000 0001]反 [1111 1110]反 = [1111 1111]反 = [1000 0000]原 = -0
发现用反码计算减法 结果的真值部分是正确的. 而唯一的问题其实就出现在"0"这个特殊的数值上. 虽然人们理解上 0和-0是一样的 但是0带符号是没有任何意义的. 而且会有[0000 0000]原和[1000 0000]原两个编码表示0.
于是补码的出现 解决了0的符号以及两个编码的问题:
1-1 = 1 (-1) = [0000 0001]原 [1000 0001]原 = [0000 0001]补 [1111 1111]补 = [0000 0000]补=[0000 0000]原
这样0用[0000 0000]表示 而以前出现问题的-0则不存在了.而且可以用[1000 0000]表示-128:
(-1) (-127) = [1000 0001]原 [1111 1111]原 = [1111 1111]补 [1000 0001]补 = [1000 0000]补
-1-127的结果应该是-128 在用补码运算的结果中 [1000 0000]补 就是-128. 但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128 所以-128并没有原码和反码表示.(对-128的补码表示[1000 0000]补算出来的原码是[0000 0000]原 这是不正确的)
使用补码 不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题 而且还能够多表示一个最低数. 这就是为什么8位二进制 使用原码或反码表示的范围为[-127 127] 而使用补码表示的范围为[-128 127].
因为机器使用补码 所以对于编程中常用到的32位int类型 可以表示范围是: [-231 231-1] 因为第一位表示的是符号位.而使用补码表示时又可以多保存一个最小值.
四 原码 反码 补码 再深入计算机巧妙地把符号位参与运算 并且将减法变成了加法 背后蕴含了怎样的数学原理呢?
将钟表想象成是一个1位的12进制数. 如果当前时间是6点 我希望将时间设置成4点 需要怎么做呢?我们可以:
1. 往回拨2个小时: 6 - 2 = 4
2. 往前拨10个小时: (6 10) mod 12 = 4
3. 往前拨10 12=22个小时: (6 22) mod 12 =4
2 3方法中的mod是指取模操作 16 mod 12 =4 即用16除以12后的余数是4.
所以钟表往回拨(减法)的结果可以用往前拨(加法)替代!
现在的焦点就落在了如何用一个正数 来替代一个负数. 上面的例子我们能感觉出来一些端倪 发现一些规律. 但是数学是严谨的. 不能靠感觉.
首先介绍一个数学中相关的概念: 同余
同余的概念两个整数a,b,若它们除以整数m所得的余数相等,则称a,b对于模m同余
记作 a ≡ b (mod m)
读作 a 与 b 关于模 m 同余。
举例说明:
4 mod 12 = 4
16 mod 12 = 4
28 mod 12 = 4
所以4 16 28关于模 12 同余.
负数取模正数进行mod运算是很简单的. 但是负数呢?
下面是关于mod运算的数学定义:
上面是截图 "取下界"符号找不到如何输入(word中粘贴过来后乱码). 下面是使用"L"和"J"替换上图的"取下界"符号:
x mod y = x - y L x / y J
上面公式的意思是:
x mod y等于 x 减去 y 乘上 x与y的商的下界.
以 -3 mod 2 举例:
-3 mod 2
= -3 - 2xL -3/2 J
= -3 - 2xL-1.5J
= -3 - 2x(-2)
= -3 4 = 1
所以:
(-2) mod 12 = 12-2=10
(-4) mod 12 = 12-4 = 8
(-5) mod 12 = 12 - 5 = 7
开始证明再回到时钟的问题上:
回拨2小时 = 前拨10小时
回拨4小时 = 前拨8小时
回拨5小时= 前拨7小时
注意 这里发现的规律!
结合上面学到的同余的概念.实际上:
(-2) mod 12 = 10
10 mod 12 = 10
-2与10是同余的.
(-4) mod 12 = 8
8 mod 12 = 8
-4与8是同余的.
距离成功越来越近了. 要实现用正数替代负数 只需要运用同余数的两个定理:
反身性:
a ≡ a (mod m)
这个定理是很显而易见的.
线性运算定理:
如果a ≡ b (mod m),c ≡ d (mod m) 那么:
(1)a ± c ≡ b ± d (mod m)
(2)a * c ≡ b * d (mod m)
如果想看这个定理的证明 请看:http://baike.baidu.com/view/79282.htm
所以:
7 ≡ 7 (mod 12)
(-2) ≡ 10 (mod 12)
7 -2 ≡ 7 10 (mod 12)
现在我们为一个负数 找到了它的正数同余数. 但是并不是7-2 = 7 10 而是 7 -2 ≡ 7 10 (mod 12) 即计算结果的余数相等.
接下来回到二进制的问题上 看一下: 2-1=1的问题.
2-1=2 (-1) = [0000 0010]原 [1000 0001]原= [0000 0010]反 [1111 1110]反
先到这一步 -1的反码表示是1111 1110. 如果这里将[1111 1110]认为是原码 则[1111 1110]原 = -126 这里将符号位除去 即认为是126.
发现有如下规律:
(-1) mod 127 = 126
126 mod 127 = 126
即:
(-1) ≡ 126 (mod 127)
2-1 ≡ 2 126 (mod 127)
2-1 与 2 126的余数结果是相同的! 而这个余数 正式我们的期望的计算结果: 2-1=1
所以说一个数的反码 实际上是这个数对于一个膜的同余数. 而这个膜并不是我们的二进制 而是所能表示的最大值! 这就和钟表一样 转了一圈后总能找到在可表示范围内的一个正确的数值!
而2 126很显然相当于钟表转过了一轮 而因为符号位是参与计算的 正好和溢出的最高位形成正确的运算结果.
既然反码可以将减法变成加法 那么现在计算机使用的补码呢? 为什么在反码的基础上加1 还能得到正确的结果?
2-1=2 (-1) = [0000 0010]原 [1000 0001]原 = [0000 0010]补 [1111 1111]补
如果把[1111 1111]当成原码 去除符号位 则:
[0111 1111]原 = 127
其实 在反码的基础上 1 只是相当于增加了膜的值:
(-1) mod 128 = 127
127 mod 128 = 127
2-1 ≡ 2 127 (mod 128)
此时 表盘相当于每128个刻度转一轮. 所以用补码表示的运算结果最小值和最大值应该是[-128 128].
但是由于0的特殊情况 没有办法表示128 所以补码的取值范围是[-128 127]
本人一直不善于数学 所以如果文中有不对的地方请大家多多包含 多多指点!
文章转载自博客
https://www.cnblogs.com/zhangziqiu/archive/2011/03/30/ComputerCode.html