线性代数之线性方程的解（方程组的解II-）

线性代数之线性方程的解（方程组的解II-）如果从矩阵变换的角度来理解的话 请观察下图:其中三个平面交线相互平行 不会有任何共同的交点 所以无解:经过矩阵变换后 仍是三维空间;解向量 x 在变换后 与向量 v 重合;向量 v 可以被矩阵 A 的列向量线性表出 也就是落在列空间内;

这次我们来看看三个方程式 三个未知数的方程组解(即平面方程组)的情况. 其中每一个方程可以看做代表了三维空间中的一个平面 而方程组的解集就可能是空间中的一部分: 无解 一个交点 一条直线或一个平面;

方程组唯一解的情况

从行视图来理解就是三个平面相交于一点:

如果从矩阵变换的角度来理解的话 请观察下图:

观察要点:

• 经过矩阵变换后 仍是三维空间;

• 解向量 x 在变换后 与向量 v 重合;

• 向量 v 可以被矩阵 A 的列向量线性表出 也就是落在列空间内;

方程组无解

其中三个平面交线相互平行 不会有任何共同的交点 所以无解:

如果从矩阵变换的角度来理解的话 请观察下图:

观察要点:

• 经过矩阵变换后 空间被压缩为平面;

• 由于向量 v 在平面之外 所以无法被矩阵的列向量线性表出 落在列空间之外;

方程组有无穷解 - 解集为一条直线

三个平面相交于一条直线:

如果从矩阵变换的角度来理解的话 请观察下图:

观察要点:

• 空间经过变换被压缩为平面;

• 行列式为 0 即逆矩阵不存在 但解仍然存在 因为 v 就在该平面上 即在列空间内 ;

• 图形中红色细线上的所有向量在变换后都被压缩到原点 成为零向量;

方程的通解为特解 零空间上解所有的线性组合:

方程组无穷解 - 解集为一个平面

三个平面实际就是为一个平面:

如果从矩阵变换的角度来理解的话 请观察下图:

观察要点:

• 矩阵变换将空间压缩为一条直线;

• 行列式为 0 即逆矩阵不存在 但解仍然存在 因为 v 刚好就在这条直线上 还在列空间内;

• 图形中浅蓝色平面上的所有向量在变换后都被压缩到原点 成为零向量;

方程的通解为特解 零空间上解所有的线性组合:

这一次我们从行视图和列视图的几何角度理解线性方程组: 每个方程组都有一个线性变换与之联系; 当逆变换存在时 就能用逆变换来求解方程组的解;逆变换不存在时 行列式为 0 就需要考察向量 v 是否落在列空间内了.

上面就是本次图解线性代数所回顾的知识点. 好了 现在让我们在下一篇的中再见!