曲线的弧长积分公式的证明（我们仅从sinθ的波浪曲线分析得出）

曲线的弧长积分公式的证明（我们仅从sinθ的波浪曲线分析得出）首先在如下圆上取微小的一端dθ，它对应的sinθ就是d(sinθ) 如下图所示下面我们就用严格的数学推导来验证下：接着sinθ图像的斜率进入负值区域 首先会不断减小，接着又不断增加，但都是负值，如下图所示，然后图形又会变平，sinθ斜率又回到0，这样不断类推下去，就可以绘制出完整的导数图形，你可能会猜测这个导数就是cosθ 因为sinθ斜率变化的图形能完美的和余弦函数的波峰波谷的位置对应起来

我们从最初等的三角函数sinθ波形图来分析sinθ的导数原理，首先sinθ的值就是单位圆上的点到X轴的高度，随着θ的增大，高度总是在-1到 1之间来回变换，这种最初等的数学知识，却包含着丰富的数学原理，值得我们去探索

sinθ图形是最经典的波浪曲线

我们一步一步来分析正弦波形图每个点斜率的变化情况，首先在原点处，sinθ是递增的，所以它的斜率是一个正值

我们继续往右走时，sinθ图像的斜率不断减小，在接近顶部时，斜率会较小到0

接着sinθ图像的斜率进入负值区域 首先会不断减小，接着又不断增加，但都是负值，如下图所示，然后图形又会变平，sinθ斜率又回到0，

这样不断类推下去，就可以绘制出完整的导数图形，

你可能会猜测这个导数就是cosθ 因为sinθ斜率变化的图形能完美的和余弦函数的波峰波谷的位置对应起来

下面我们就用严格的数学推导来验证下：

首先在如下圆上取微小的一端dθ，它对应的sinθ就是d(sinθ) 如下图所示

因为取的是微小的一段dθ，所以dθ就是一条线段，而不是一段圆弧，而这个微元直角三角形和图中大的直角三角形相似，且θ角是dθ和d(sinθ)两条边的夹角

最终我们得到了d(sinθ)/ dθ=cosθ.

这也验证了我们上述的推论。