概率论解题方法分析（伊藤清概率论大师的）
概率论解题方法分析（伊藤清概率论大师的）“哲学是研究宇宙的原理、法则的学问。”“不知道。”当时的我理所当然地回答道。中文版由图灵引进，即将翻译出版记得是小学一二年级时的事情。我的朋友I君，有一个上高等女子学校一年级还是二年级（相当于现在的初中）的姐姐。I姐姐的学习成绩非常优秀，是我崇敬的对象。她会教我一些难读汉字的读法，不过我总是记不住。但是，她对我说过的一句话，在五十五年后的今天，依然令我难以忘怀。I姐姐曾问我：“你觉得哲学是什么？”
作者 | 伊藤清
来源 | 图灵教育，本文选自日本数学家伊藤清的文集《我与概率论》（中文版由图灵引进，即将翻译出版），原文标题为「忘れられない言葉」。
伊藤清（Kiyosi Itô），1915—2008.日本数学家，日本学士院院士，日本京都大学教授。随机分析的创始人之一，日本概率论研究的奠基者。曾任京都大学数理分析研究所所长，日本数学会理事长。他因在概率论方面的奠基性工作而获1987年的沃尔夫奖，并于1998年获得京都奖，2006年获得首届高斯奖。伊藤清的工作集中于概率论，特别是随机分析领域，他被誉为“现代随机分析之父”。
伊藤清的文集《我与概率论》原版封面
中文版由图灵引进，即将翻译出版
记得是小学一二年级时的事情。我的朋友I君，有一个上高等女子学校一年级还是二年级（相当于现在的初中）的姐姐。I姐姐的学习成绩非常优秀，是我崇敬的对象。她会教我一些难读汉字的读法，不过我总是记不住。但是，她对我说过的一句话，在五十五年后的今天，依然令我难以忘怀。
I姐姐曾问我：“你觉得哲学是什么？”
“不知道。”当时的我理所当然地回答道。
“哲学是研究宇宙的原理、法则的学问。”
I姐姐说完，还把辞典推到我的面前，指给我看。
当时的我刚上小学，还读不懂辞典上的描述，更进一步说，我应该也无法理解这句话的意思。但是，这句话却成为我一生都无法忘记的话。进入中学（旧制）后，虽然我知道了这句话中每个字的写法，但第一次写下这句话，却是在写这篇文章的时候。
中学的科目中没有哲学。我升入高中（旧制八高）后，哲学则成为学生们之间的潮流文化。笛卡儿、康德、叔本华、马克思、唯心论、唯物论、观念论等哲学之谈不绝于耳。
文科生中，甚至有人去攻读康德的《纯粹理性批判》的德语原版。在这种气氛下，我也被卷入哲学热潮，去参加哲学讨论。不过，说实话，哲学青年的讨论，在我看来过于主观、内在、形而上。作为理科生，我感觉这类东西无法真正满足我的内心。我下意识地觉得，I姐姐所说的“研究宇宙的原理、法则的学问”，是一种更加客观的学问。这种学问，也正是我想去了解的“哲学”。
我第一次触碰到类似“研究宇宙的原理、法则的学问”，是我在高中三年级和大学（东京大学理学部数学科）学习“牛顿力学与微积分的关联”的时候。
落体运动、抛物线运动、天体的运动，这些运动都可以根据牛顿三定律和万有引力法则，由微分方程的解而决定。这让我莫名感动，觉得这就是“研究宇宙的原理、法则的学问”。
宇宙虽然是包括自然界、人类世界等森罗万象的总称，但直观上的宇宙总是让我们想到繁星闪烁的无穷空间。那些星星的运动，如果全都遵循牛顿的微分方程，那么微分方程就是“宇宙的原理、法则”吧。后来，当我了解到流体力学、电磁学也可以用偏微方程来描述，我便确信数学就是我在追寻的“研究宇宙的原理、法则的学问”。
不过，当时数学的主流是抽象的纯粹数学，即研究数学概念的逻辑性结构。像十八、十九世纪的数学那样，去研究宇宙的原理、法则的研究态度，则成为数学界的支流。
虽然我对纯粹数学也有兴趣，但是总觉得纯粹数学无法带给我牛顿力学曾给予我的那种感动。当时的热力学、统计力学，像理论物理学的其他领域一样，还没有从数学上得到系统性整理。这是因为与这些领域密切相关的数学手段——概率论尚未得到充分发展。
我大学毕业时，概率论终于具备了大致的数学形态，我也对这方面研究产生了强烈兴趣。我隐约感觉，这个领域能够实现I姐姐所说的“哲学”。就这样，随机过程论就成为了我的研究方向。
幸运的是，这一理论后来引起了数学家的普遍关注，在四十年间获得飞跃性发展，而我也在这个过程中享受着研究的乐趣。我大学毕业不久后，就走上了随机微分方程的研究道路，我想这也是I姐姐那句话的指引吧。
1987年，伊藤清获得沃尔夫奖。在颁奖词中，伊藤清的理论被誉为概率论世界中的“牛顿定律”。
伊藤清理论原点的概率论名著《伊藤清概率论》，1944年出版，2004年再版，中译本修订版由图灵2021年2月出版，如右图。
数学分为纯粹数学和应用数学。
纯粹数学的着力点在于研究数学概念的逻辑结构。应用数学，我认为是为了描述“宇宙的原理、法则”而构建出的数学。在我的研究过程中，我愈发感受到这一点，并觉得应用数学应该称为“数理科学”或者“数理解析学”。
仔细想来，“研究宇宙的原理、法则”这种客观的态度，并不属于哲学家，而属于数理解析学研究者。哲学的考察包括主观、客观，是一种内面性的东西。我高中时期遇到的那些哲学青年，他们的哲学就是这种意义上的哲学。I姐姐告诉我的那种“哲学”，与其说是哲学，不如说是“数理解析学”。
我从“哲学”“纯粹数学”之间跋涉而来，终于找到了“数理解析学”之路。现在，我在京都大学的数理解析研究所（Research Institute for Mathematical Sciences，RIMS）工作，想必这也是I姐姐那句话在我心底生根的结果吧。
“数学圣地”京都大学数理解析研究所
研究所成员包括伊藤清（沃尔夫奖、高斯奖得主）、广中平祐（菲尔兹奖得主）、森重文（菲尔兹奖得主）等著名数学家。开创“IUT理论”的望月新一，也是数理解析研究所的所员。超弦理论的权威研究者大栗博司，也曾在数理研究所担任助理教授。
与I姐姐的那次对话后，我们就没有再见过面。从我的年龄来计算，她现在已经年近七十了吧。最近，我参加了一次中学的同学会，偶然得知她是同学会会长W君的妻子。
时隔五十五年，我们在电话中再次对话，彼此都产生了一种莫名的怀念之情。那个时候，她给我看的辞典是《言海》。我找来当年那一版《言海》，翻看“哲学”词条的释义，结果发现辞典中并没有“研究宇宙的原理、法则的学问”的描述。如此想来，这句话应该是她自己的话吧，而她的这句话却将我引上了今天的研究道路，真是令人无限感慨。
《伊藤清概率论（修订版）》
作者：伊藤清
出版社：人民邮电出版社
出版时间：2021-01
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内容简介：
本书为日本数学家伊藤清创作的现代概率论著作。书中以*小限度的预备知识为前提，以简练的笔法系统讲解了测度论基础，以及现代概率论的基础体系与概念，为引导读者理解“随机过程”，特别是Markov过程做了细致准备。此外，本书还展示了“伊藤引理”的构想原点，收录了概率论发展的历史过程。对于背景知识较为薄弱的读者，作者则从各章的主要脉络上，为其准备了一条了解现代概率论轮廓的轻快之路。本书适合相关专业的本科生、研究生和教师阅读学习，也适合作为数学、物理、金融等领域的研究者的参考资料。
作者简介：
伊藤清 1915—2008，日本数学家，日本学士院院士，日本京都大学教授。随机分析的创始人之一，日本概率论研究的奠基者。曾任京都大学数理分析研究所所长，日本数学会理事长。他因在概率论方面的奠基性工作而获1987年的沃尔夫奖，并于1998年获得京都奖，2006年获得首届高斯奖。伊藤清的工作集中于概率论，特别是随机分析领域，他被誉为“现代随机分析之父”，因他命名的理论有伊藤引理、伊藤积分、伊藤过程等。他的研究不仅推动了现代数学的发展，还对物理学、经济学、统计学等学科产生了深远影响。著有《概率论》《随机过程》《我与概率论：伊藤清文集》等。
目录：
第1章 概率论的基本概念 1
1 概率空间的定义 1
2 概率空间的实际意义 3
3 概率测度的简单性质 5
4 事件，条件，推断 10
5 随机变量的定义 12
6 随机变量的合成与随机变量的函数 15
7 随机变量序列的收敛性 16
8 条件概率、相依性与独立性 21
9 均值 26
第2章 实值随机变量的概率分布 29
10 实值随机变量的表现 29
11 R-概率测度的表现 32
12 R-概率测度之间的距离 33
13 R-概率测度集合的拓扑性质 35
14 R-概率测度的数字特征 38
15 独立随机变量的和，R-概率测度的卷积 43
16 特征函数 46
17 R-概率测度及其特征函数的拓扑关系 50
第3章 概率空间的构成 54
18 建立概率空间的必要性 54
19 扩张定理(I) 55
20 扩张定理(II) 57
21 Markov 链 59
第4章 大数定律 63
22 大数定律的数学表现 63
23 Bernoulli 大数定律 65
24 中心极限定理 66
25 强大数定律 69
26 无规则性的含义 73
27 无规则性的证明 76
28 统计分布 81
29 重对数律与遍历定理 82
第5章 随机变量序列 84
30 一般的问题 84
31 条件概率分布 85
32 单纯Markov 过程与转移概率族 87
33 遍历问题的简单例子 89
34 遍历定理 92
第6章 随机过程 99
35 随机过程的定义 99
36 Markov 过程 101
37 时空齐次的Markov 过程(I) 103
38 时空齐次的Markov 过程(II) 112
39 一般Markov 过程与平稳过程 115
附录1 符号 119
附录2 参考文献 121
附录3 后记与评注 122
概要与背景 124
索引 144
