一次函数与反比例函数相结合（一次函数与反比例函数的综合）

一次函数与反比例函数相结合（一次函数与反比例函数的综合）又∵∠CAD=∠OAB，∴AC=AB，∵∠AOB=90°，∴∠CDA=∠AOB，∵点A是BC的中点，

例1.（2019春•张家港市期末）如图，已知一次函数y＝kx﹣4的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点C，且A为BC的中点，则一次函数的解析式为（　　）

A．y＝2x﹣4 B．y＝4x﹣4 C．y＝8x﹣4 D．y＝16x﹣4

解析：如图所示，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，

∴∠CDA=90°，

∵∠AOB=90°，

∴∠CDA=∠AOB，

∵点A是BC的中点，

∴AC=AB，

又∵∠CAD=∠OAB，

∴△ACD≌△ABO，

∴CD=OB.

对于y＝kx﹣4，当x=0时，y＝﹣4，则B点坐标为（0，﹣4），

∴OB=CD=4，

把y＝4代入得x＝2，

∴C点坐标为（2，4），

把C（2，4）代入y＝kx﹣4得2k﹣4＝4，解得k＝4，

∴一次函数的表达式为y＝4x﹣4，

故选：B．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．

例2.（2019秋•皇姑区校级期中）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点与轴、轴分别交于点、点．

（1）求反比例函数和一次函数的表达式；

（2）连接，，求的面积；

（3）根据图象，请直接写出当时的取值范围．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题

【专题】几何直观；一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力

【分析】（1）根据待定系数法即可求得；

（2）根据三角形面积公式求得即可；

（3）根据、的横坐标，结合图象即可得到当时的取值范围．

【解答】（1）∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，

∴，

解得，

∴反比例函数和一次函数的解析式分别为，.

（2）把代入得，

，

；

（3）观察图象，当时的取值范围为或.

【点评】此题是反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，三角形面积等，数形结合是解本题的关键．