圆周点的径向运动（水平面内的圆周运动）

圆周点的径向运动（水平面内的圆周运动）聪明的工程师在设计铁路时，让转弯处的外轨略高于内轨。这样当火车转弯时，铁轨对火车的支持力FN不再是竖直的，而是垂直于枕木斜向弯道的内侧，它与重力G的合力指向圆心，为火车转弯提供了向心力，大大减轻了轮缘与外轨之间的挤压。（你好他也好）这就解释了坐火车过弯道时为什么会感到车身有一定的倾斜。如果你是铁路engineer，打算怎么解决铁轨磨损问题？“降低车速以此减小向心力”？但这与快节奏的时代不符；“少挂几节车厢减小车身质量以此减小向心力”？但这会降低火车的运力。哎！“垫高外轨，形成内外轨高度差”，这可能是个好点子！一起来看看实际生活中是不是这样的呢？车轨弯道，如果内外轨一样高，火车转弯时，它所需要的向心力是从哪里来的呢？转弯时有向外侧运动的趋势（惯性），外侧车轮的轮缘就会横向挤压外轨，使外轨发生弹性形变，外轨套恢复形变，便给车轮一个向内的弹力，就是火车圆周运动所需的向心力。但是火车的质量太大。轻

向心力是按作用效果命名的力，它可以是一个力也可以是几个力的合力。向心力与圆周运动在生活中会碰撞出怎样的火花？“转弯问题”——弯道超车；“过桥问题”——峰回路转，上桥下桥，过什么桥呢？水平桥、凹形桥、凸形桥（对称美）；“离心问题”——转筒式离心机在生活中应用广泛，如洗衣机甩干桶，“差速离心法”分离细胞器，甚至制作棉花糖的工艺中都会用到。

• 转弯问题

常用的交通工具有什么呢？摩托车、汽车、火车、飞机等，这些坐骑将会一一分析到。

“汽车转弯最大速度问题”。一辆F1赛车，正在赛道转弯，它受到哪些力的作用？竖直方向上有重力、支持力，二者等大反向、相互抵消。汽车转弯做圆周运动，一定会受到向心力。由谁来提供？观察轮胎的形变，发现：赛车在半径方向有向外飞的趋势，为了阻碍这个趋势，轮胎与地面之间就会产生与相对运动趋势方向相反的静摩擦力，也叫“抓地力”。雨天需要更换雨胎，就是为了增强抓地力。方向指向圆心，充当赛车转弯的向心力。地面粗糙程度一定，保证汽车过弯的最大速度是多少呢？

“火车转弯设计速度问题”。汽车不过瘾，分析轮子更多的载具——火车。火车是穷游者的标配。它在转弯时发生的是圆周运动，必然也会受到向心力的作用。是什么力充当了火车转弯的向心力呢？火车在轨运行时，为了固定路径，车轮内侧有突出的轮缘。

车轨弯道，如果内外轨一样高，火车转弯时，它所需要的向心力是从哪里来的呢？转弯时有向外侧运动的趋势（惯性），外侧车轮的轮缘就会横向挤压外轨，使外轨发生弹性形变，外轨套恢复形变，便给车轮一个向内的弹力，就是火车圆周运动所需的向心力。

但是火车的质量太大。轻则几十吨重则几百吨，靠这种办法得到向心力，轮缘与铁轨之间的相互作用太大，极易损坏！垂直于铁轨方向的弹力提供火车转弯的向心力，即：

，可以看出m很大FN就会很大；平行于轨道的切线方向上，FN增大，Ff也会随之增大。这就导致车轮与铁轨之间的弹力、摩擦力都过大。

如果你是铁路engineer，打算怎么解决铁轨磨损问题？“降低车速以此减小向心力”？但这与快节奏的时代不符；“少挂几节车厢减小车身质量以此减小向心力”？但这会降低火车的运力。哎！“垫高外轨，形成内外轨高度差”，这可能是个好点子！一起来看看实际生活中是不是这样的呢？

聪明的工程师在设计铁路时，让转弯处的外轨略高于内轨。这样当火车转弯时，铁轨对火车的支持力FN不再是竖直的，而是垂直于枕木斜向弯道的内侧，它与重力G的合力指向圆心，为火车转弯提供了向心力，大大减轻了轮缘与外轨之间的挤压。（你好他也好）这就解释了坐火车过弯道时为什么会感到车身有一定的倾斜。

具体来分析内外轨具有高度差的火车受力情况。（火车相对于轨道，可看作质点）火车受到竖直向下的重力，垂直于轨道平面向上的支持力，合力提供向心力。已知轨道宽度为L，内外轨的高度差为h，轨道平面与水平面之间夹角为θ，则重力与支持力的夹角也是θ（蝴蝶定理）根据平行四边形定则，；另一方面，由于合外力充当向心力，故二者意义相同，有：；

我们在乘车转弯时能够感受到车身倾斜吗？几乎感觉不到。可以推测θ非常小，（火车转弯时，方便面没有洒在左右两边人的腿上），认为tanθ与sinθ近似相等（合理外推），即：；观察发现：（速度三角形和几何三角形相似）即：，把v反解出来，得，这就是工程师在设计铁路时，给火车设定的标准时速。它是根据转弯半径、内外轨高度差以及轨道宽度设定的。

火车以设计时速转弯，支持力与重力的合力刚好充当其圆周运动的向心力，轮缘与内外轨均无侧压力，是最安全的转弯速度，对铁轨和车轮损伤最小。但在一些情况下（计划赶不上变化），火车运行难免要高于或低于设计速度。

火车晚点，提速追回时间差，过弯的实际速度大于设计速度。这种情况下，重力与支持力的合力大小不变，但所需向心力由于v的增大而增大，合力就不足以提供火车转弯所需的向心力了（弯道超车很容易弯道翻车）。此时火车有向外飞的趋势，为了防止脱轨，轮缘挤压外侧轨道，产生向内测的弹力（辅助），

这个弹力与重力、支持力合力共同作用，为火车转弯提供了向心力。由于车轮与外侧轨道的挤压摩擦，外轨道易损坏，铁锈中有磨白；（车轮相对于火车，解构局部）

假设火车前方有一列车晚点，这辆车是不是要被迫降低自身的运行速度？过弯时，实际速度小于设计速度。这种情况下，重力与支持力的合力大小不变，但所需向心力由于v的减小而减小，合力提供的向心力过剩，火车有内翻的趋势。为了防止侧翻，轮缘挤压内侧轨道，产生向外侧的弹力。重力、支持力的合力减去这个弹力为火车转弯提供向心力。但由于车轮与内侧轨道挤压摩擦，内侧轨道易损坏。为了保护轨道，火车转弯时速度应尽可能控制在设计时速左右。

生活中还有哪些“极速转弯”是通过垫高外轨来增大向心力Fn的呢？

拉力赛车过弯速度非常快，一旦降速就会让出车位。为了保证给过弯提供足够的向心力，赛道往往设计为坡面；

太原的一个杂技团进行了“飞车走壁”表演，墙壁上飞檐走壁的摩托车在做圆周运动，什么力提供了它的向心力？没错，就是车辆自身的重力和笼面对其的弹力之合。

人类在发明的路上不断模仿自然界的生物，创立了《仿生学》。鸟儿在太空盘旋时近似做圆周运动，它自身的重力与空气给翅膀的升力之合提供了转弯所需的向心力。滑翔机的原理也是如此。

火车、汽车、摩托车、飞机转弯都有一个共同点：向心力由重力与弹力所提供。将其归纳浓缩为一个模型——“圆锥摆模型”。

拓展：锥度轮