数学的书写规范（数学书写永恒-）

数学的书写规范（数学书写永恒-）弗赖的想法太聪明了，简直就是振聋发聩。他把费马方程中的变量转化成了另一个不同方程的系数。这就像是互换了M.C.埃舍尔的一幅画作的前景和背景。即便如此，弗赖与里贝特的工作是否会带来突破，这一点还远非一目了然。他们只不过把一个看上去无法达到的目标换成了另外一个而已。实际上弗赖和里贝特说的是:你想攀登珠穆朗玛峰吗?容易，先长出翅膀来就行了。甚至到了20世纪，费马最后定理还像一只下金蛋的母鸡，仍旧在为数学王国开疆拓土。20世纪80年代初，德国数学家格哈德·弗赖意识到，费马方程an bn=cn的任何已有解都可用以画出一条由方程y2=x(x-an)(x bn)描述的辅助曲线;他感到这一现象非常怪异。弗赖认为，这一现象如此反常，以至于会违反数论中另一个未经证明的猜想:谷山-志村猜想。开始时这一证据看上去不很充分，但随后一位美国数学家肯尼斯·里贝特证明了弗赖是正确的:如果谷山-志村猜想证实为真，则费马最后

皮埃尔·德·费马不是个爱搞恶作剧的人。他是法国南部一个富有的皮货商的儿子;1631年获得奥尔良大学法学学位后，他在图卢兹最高法院谋得了一个席位，并变成了一个贵族。根据他所写的信件提供的证据来看，他是一个有些羞涩、沉默寡言的人，不喜欢与人争论。但费马有一个不寻常的特点:他热爱数学。在一个数学家开始跨越国家的疆界，把他们的课题变成国际事业的年代里，他的名声举世传扬，并在他死后多年长盛不衰。由于命运的一次离奇扭转，他传世最为久远的遗产是一个他几乎可以肯定没有解决的难题。这个人称费马最后定理的难题在不期然间变成了数学史上的一场恶作剧:因为这是一个让人感觉十分简单的陈述，但它却在350多年间让一切企图证明它的努力徒呼无奈。已知的最为可靠的证据说明，费马的数学是自学成才。然而，在大学时代他与一个对数学感兴趣的小圈子里的人们结成了朋友，这显然刺激了他进行自己的研究工作。他的一个朋友在1636年前往巴黎皇家图书馆工作，并让马兰·梅森神父注意到了费马这个此前默默无闻的乡土数学家的工作。

在那个科学院和科学杂志尚未问世、大多数大学甚至连数学教授都没有的年代，梅森就是法国数学界众星捧月式的人物。他在修道院里举行定期聚会，并与欧洲差不多所有数学家保持联系。如果你想让你的发现为人所知，你最好把它寄给梅森，然后整个世界很快就都会知道了。

费马本人从未去过巴黎，也从来没有在法国南部以外的地方“探险”，而且他只在1646年见过梅森一次。他固执地拒绝以他自己的名字发表任何作品。尽管如此，由于梅森的缘故，他取得的成果四海皆知，法国和国外的其他数学家热切地希望学习他的方法。但费马却守口如瓶。他的独特做法是把他的发现作为问题寄给其他数学家，而且经常很有技巧地把问题隐藏起来，让收信人很难弄清他的发现的真正本质，除非收信人自己也曾涉猎过类似的问题。通过这种方法，费马可以确认他是否真的有了新发现，而不必说出他发现了些什么。这种挑战既让其他数学家感到心痒难挠，又让他们有几分气恼。勒内·笛卡儿说他是个“牛皮匠”，伯纳德·弗兰涅克尔·德·贝西则谴责他总是提出些无法解决的难题。费马希望取得他人承认，同时却对过多泄露自己的秘密有着几乎病态的恐惧，他就在这二者之间犹疑彷徨。一方面他乐于引用弗朗西斯·贝肯爵士的名言作为自己的座右铭:“知识的成长取决于同行间的大量交流。”另一方面，由于他不喜欢公布结果，他的许多工作无法为“同行们”接触。

数论是研究有整数解的方程的理论，费马是对数论产生浓厚兴趣的第一位现代欧洲数学家。他一直进行研究的一个题目是毕达哥拉斯三数组，换句话说，就是找到能让a^2 b^2=c^2成立的整数a、b、c。通过研究一本刚刚由古希腊文翻译过来的书——《丢番图的算术》——费马知道古希腊人有求解这一方程的普遍方法。费马就这一课题进行了大量不同的工作:为同一斜边c找到两个不同的毕达哥拉斯三数组;寻找这样的毕达哥拉斯三数组:它们构成的直角三角形的面积是平方数，或者平方数的二倍，或者其两条直角边之和a b是平方数。他能够以令自己满意的程度解决所有这些问题，甚至有时还能证明某问题无解(例如，不存在面积为完全平方数的毕达哥拉斯三角形)。

或许是在1636年与1640年之间的某一天，他又找到了另外一项与此相关的变形工作:是否有两个立方数之和为另外一个立方数?更普遍地说，当指数n大于2时，方程xn yn=zn是否有整数解?在他那本丢番图著作的空白处，费马写道:“任何立方数都不可能写为两个立方数之和的形式，也没有任何四次方数可以写成另外两个四次方数的形式。普遍地说，任何二次以上的幂都不可能写成另外两个同次幂的形式。对此我已经找到了一个真正绝妙的证明，但书的空白处实在太小，无法把它写下来。”费马从来没有让别人看到他这一条手写的笔记的意思，但它却成了数学史上最为著名的引文之一。正如数论学家安德烈·韦伊曾经写下的那样:“他怎能料到，笔落处，抒写的便是永恒?”

费马死后，他的儿子萨米尔收集并发表了他的手稿，其中包括写在那本丢番图著作空白上的全部笔记。18世纪，瑞士数学家莱昂哈德·欧拉把重新证明费马在数论上的结果作为对自己的人生挑战。他唯一未能完成的是将幂整数分解为两个同级幂整数之和的定理。他确实证明了方程x^3 y^3=z^3和x^4 y^4=z^4不存在整数解，但对任何指数n都成立的一般方法他却只能饮恨败北。

费马在书页空白处写下的貌似简单的笔记后来被叫作“费马最后定理”。当然，实际上这并不是一个定理(即不是一个已经证明的事实)，而只是一项猜想。1852年，彼得·狄利克莱证明，当n=5时方程没有整数解。1839年，加布里埃尔·拉梅证明n=7时情况相同。至1857年，恩斯特·库默尔一直证明到指数n不大于100的情况下该方程无整数解。尽管这一过程的进展似乎缓慢得令人烦恼，但对费马最后定理的证明开拓了数学的新领域，今天人们称这一领域为代数数论。

甚至到了20世纪，费马最后定理还像一只下金蛋的母鸡，仍旧在为数学王国开疆拓土。20世纪80年代初，德国数学家格哈德·弗赖意识到，费马方程an bn=cn的任何已有解都可用以画出一条由方程y2=x(x-an)(x bn)描述的辅助曲线;他感到这一现象非常怪异。弗赖认为，这一现象如此反常，以至于会违反数论中另一个未经证明的猜想:谷山-志村猜想。开始时这一证据看上去不很充分，但随后一位美国数学家肯尼斯·里贝特证明了弗赖是正确的:如果谷山-志村猜想证实为真，则费马最后定理成立。

弗赖的想法太聪明了，简直就是振聋发聩。他把费马方程中的变量转化成了另一个不同方程的系数。这就像是互换了M.C.埃舍尔的一幅画作的前景和背景。即便如此，弗赖与里贝特的工作是否会带来突破，这一点还远非一目了然。他们只不过把一个看上去无法达到的目标换成了另外一个而已。实际上弗赖和里贝特说的是:你想攀登珠穆朗玛峰吗?容易，先长出翅膀来就行了。

实际上，世界上只有一个人认为自己能够证明谷山-志村猜想，这个人就是安德鲁·怀尔斯。而他或多或少就是通过“长出翅膀”这一方法证明的。但他实际上制造的不是翅膀，而是一架飞机。七年间他独自一人在阁楼上忙碌，把20世纪数学最艰难、最抽象、最强大的三项理论——L-函数、模形式和伽罗瓦表示——联系到了一起，使它们结合成了一台能够翱翔蓝天的飞机。

人们或许可以把他的证明比作阿波罗登月之旅，因为阿波罗计划将至少三项相互独立的技术结合到了一起:火箭技术、计算技术和通信技术。这三项技术中没有任何一项在发展时考虑过登月项目，因为当时人们认为登月是无法想象的。但缺少了其中任何一项技术，登月项目都是无法想象的。但它们终究在时机合适的情况下走到了一起，征服了一个“无法解决的难题”(人类如何才能飞上月球?)。凑巧的是，与费马最后定理一样，这个难题也在大约350年间在人们的胸臆间挥之不去。

毛里茨·科内流斯·埃舍于1938年创作的木刻《天与水，I》，这 是前景与背景互换的一个例子。

1993年，怀尔斯宣布他证明了费马最后定理。与费马不同，他在1994年把他的证明提交发表。在费马与怀尔斯之间，350年的光阴让数学家学到了深刻的一课:一项没有已发表证明的“定理”根本就算不上一项定理。实际上，怀尔斯在1993年写下他的证明时发现了一处缺欠，这一问题他花费了一年的时间才在一位名叫理查德·泰勒的学生协助下予以解决。或许，如果费马不怕麻烦写下了自己的证明，那他也会找出缺欠的吧。

这就为我们带来了一个不可避免的问题:费马真的找到了一项正确的证明吗?对于任何一个合格的数论学家来说，对此的答案都会是一个响亮的“没有”。安德烈·韦伊的观点是:我们可以肯定，费马做出了n=4时的证明，我们或许也能相信他找到了一个类似欧拉对于n=3的情况下的证明。应用费马的“技巧”，这两种情况都是可解的。但从n=5开始，这一问题就发生了意义重大的改变。要做出n=5的证明，人们需要有19世纪的复数与代数数域的方法。而且，像我描述过的那样，怀尔斯对于普遍情况的证明要求有20世纪数学最前沿的概念，这是费马连做梦都不会想到的。

除了这些数学上的理由之外，怀尔斯还加上了一条心理上的理由。费马不断地就n=3和n=4的情况吹嘘，并把这些问题作为对其他数学家(其中包括可怜的德·贝西)的挑战。但在他的任何一封信中都没有提到过普遍形式，以及n≥5的形式。他为什么要如此约束自己?怀尔斯认为，最可能的情况是，费马意识到，他的所谓“真正奇妙的证明”对于这些情况不起作用。每一位数学家都曾有过这种情况。你认为你深邃地洞悉了问题的本质，但接着你出去散了个步，或者第二天又回去看了看这个问题，你就发现，你的所谓“辉煌的想法”有漏洞。有时候你能够回头补救，但有时候你就做不到。

怀尔斯的数学与心理论证是很有说服力的。然而，我愿把这一章的最后一段话留给我在1990年教过的一个中学班级。这是在怀尔斯宣布他的证明之前3年，在课程的最后一天，班里几个学生表演了以费马的生平为材料编写的一个戏剧小品。当大幕落下时他们齐声咏唱:

“费马!费马!他是我们的英雄!如果他都证明不了，那还会有谁行!”