均值不等式五种方法：均值不等式的技巧解法
均值不等式五种方法：均值不等式的技巧解法换元的关键在于务必保留约束条件的全部信息。本题表面不存在常数，但只要将题设条件左右同时除以 5xy，即出现常数1。 例1：x，y 均为正实数，且 2x y=1，求 1/x 1/y 的最小值。本题较简单，在原式上乘以1，即2x y即可：例2：x，y 均为正实数，且 x 3y=5xy，求 3x 4y 的最小值
首先，最近家里事情较多，更新较慢，请大家见谅。
上次介绍了均值不等式的万能解法，很多学生希望能总结一下均值不等式的技巧性解法，本篇就对不等式技巧性解法进行专门汇总。
篇幅有限，本文总结的方法应对高考足矣。但竞赛方法，千变万化，非一篇文章可覆，竞赛生请自动略过本文。
（再次强调：高考中面对均值不等式问题仍推荐使用技巧性解法，如果技巧性解法难以解出，再考虑万能解法，关于万能解法请参考上一篇文章）
常数代换例1：x，y 均为正实数，且 2x y=1，求 1/x 1/y 的最小值。
本题较简单，在原式上乘以1，即2x y即可：
例2：x，y 均为正实数，且 x 3y=5xy，求 3x 4y 的最小值
本题表面不存在常数，但只要将题设条件左右同时除以 5xy，即出现常数1。
换元的关键在于务必保留约束条件的全部信息。
例3：x，y 均为正实数，且 x 2y 2xy=8，求 x 2y 的最小值
本例似乎无法使用常数代换，考虑换元法。
可令：p=x 2y，q=2xy，于是 p q=8，但仅仅这样的话，并没有保留约束条件的全部信息，比如：p=2，q=6，是符合 p q=8 这个约束条件的，但很明显
这个方程组是无法解得 x，y 的正实数解的。
即 p q=8 并没有保留原始约束条件的全部信息，我们需要再加上其他的约束条件：
故：
上述条件即保留了完整约束信息，满足上述条件的 p，q 实数对，必然能联立解出 x，y 的正实数解。
将 q=8-p 代入②式：
解关于 p 的二次不等式且 p>0，解得 p=x 2y≥4，即 x 2y 的最小值为 4，当 x=2，y=1 时等号成立。
二次分式值域上述两种方法，可以解决高考中均值不等式的大部分问题。除此之外，还有一些问题可能间接的用到均值不等式，比如二次分式值域问题。
例4：求二次分式
的值域
类似的题目，常数分离都是首要思路之一
法一：
如果此时分子只有一次项，则可以上下同除以 x，利用均值不等式或者对钩函数性质求解。但上式还包含常数项，能否使用同样的思路呢？只需简单的换元即可：
令：t=3x 2，则：x=t/3-2/3
则：
此时，可以根据均值不等式或对钩函数性质解得函数值域为 [ 5/7 3] 。
（注意：最终的⑤式中，分子不可能等于0，即⑤式不可能等于2，这是因为上下同除以了t，但原函数中t=0，即 x=-2/3 时，y 可以等于2。）
还有一种比较直观的通用解法，即判别式法。
判别式法的基本思路是：如果y能取到某一个值，则必有一个实数x与这个y值相对应，即y的取值必须满足x有实数解。
法二：
解：原函数可化为：
整理得：
<i> 当 y=2 时，x=-2/3
<ii> 当 y≠2 时，关于x的二次方程：
所以，综上可得函数值域为 [ 5/7 3]。
对所有二次分式值域问题，都可考虑用判别式法求解，但要注意变形后二次项系数是否为零及二次分式分母为零等问题，至于最终的代数结论，形式过于复杂，有兴趣的读者可以自行尝试。
文|高见远，转载请注明出处。
