数学中考方程题答案解错了得几分：新教材已经删去这条定理

数学中考方程题答案解错了得几分：新教材已经删去这条定理如答图1，连接OC．这道题太经典了.一般地，若要证明过圆上某点的直线是圆的切线，可以先尝试连接这点与圆心.（2）如图2，当线段CD与半圆交于点E时，连接AE，AC，判断∠AED和∠ACD的数量关系，并证明你的结论．（1）分析

2020中考数学贴心辅导每日一题（30）

2019年江西中考数学第19题

如图1，AB为半圆的直径，点O为圆心，AF为半圆的切线，过半圆上的点C作CD∥AB交AF于点D，连接BC．

（1）连接DO，若BC∥OD，求证：CD是半圆的切线；

（2）如图2，当线段CD与半圆交于点E时，连接AE，AC，判断∠AED和∠ACD的数量关系，并证明你的结论．

（1）

分析

这道题太经典了.一般地，若要证明过圆上某点的直线是圆的切线，可以先尝试连接这点与圆心.

如答图1，连接OC．

∵CD∥AB，且BC∥OD，

∴四边形BODC是平行四边形．

∴CD＝OB＝OA．

∵CD∥OA．

∴四边形OADC是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．

∵AD是切线，

∴∠OAD＝90º

（圆的切线垂直于过切点的半径）.

∴∠OCD＝∠OAD＝90º

（平行四边形的对角相等）．

∴CD是切线(经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线)．

（2）如答图2，连接BE．

∵CD∥AB，∴∠CDA＝∠OAD=90º．

∴∠EAD＋∠AED＝90º．

∵AB是直径，

∴∠BEA＝90º．

∴∠ABE＋∠EAB＝90º．

又∵EAB ∠EAD=90º

∴∠ABE=∠EAD(同角的余角相等).

又∵∠ABE＝∠ACD(同弧所对的圆周角相等)，

∴∠ACD＋∠AED＝90º（等量代换）．

评析

第（2）小题属于结论开放型 这种题目在中考中时有出现.

解题的关键是证明∠EAD=∠ACE 实际上就是证明弦切角定理——弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.

题外话

在旧教材中，弦切角定理是一条非常重要的定理.新教材删去了有关“弦切角”的内容，应该是为了减轻学生的负担吧！这道题实际上是要求考生证明弦切角定理，这合适吗？