数列求和之裂项相消法：课堂实录数列求和
数列求和之裂项相消法：课堂实录数列求和所以，还是想通过课堂活动，让学生对数列中相关变形的必然性，有一个更好的感觉，从而达到通性通法的目的。毕竟，代数的变形，实在是太灵活了。什么错位相减、倒序相加，统统都见鬼去吧，裂项相消方是数列求和的王者。至于所谓的什么"分组求和"之流，我只能说呵呵了…当然，除了裂项相消，记得自己的构想，更多的还是想通过“数列”这一代数的媒介，灌输给孩子们多一点代数变形的东西。
高三“数列”课的复习，已过去一小段时间了。
今天再次谈到它，还是因为粉丝的要求。
能对裂项相消提出高要求的，相信这位同学一定是位优等生了。
而且，也与我自己的课堂构思相一致的。
什么错位相减、倒序相加，统统都见鬼去吧，裂项相消方是数列求和的王者。
至于所谓的什么"分组求和"之流，我只能说呵呵了…
当然，除了裂项相消，记得自己的构想，更多的还是想通过“数列”这一代数的媒介，灌输给孩子们多一点代数变形的东西。
毕竟，代数的变形，实在是太灵活了。
所以，还是想通过课堂活动，让学生对数列中相关变形的必然性，有一个更好的感觉，从而达到通性通法的目的。
只是，感觉这个东西，实在是太奇妙了，可能会莫名其妙地来，也不知何时会离开……
今天想分享的，是数列求和的专题。
其实求和专题的复习，最核心的不过就是数列求和四种方法，尤其是裂项相消法的讲解和说明。
至今还记得，11月10日的联考中，错位相减法真的是让人三观尽毁，平台上数列平均分不到1分，着实让人痛心不已。
所以也希望高三的同学能通过这期推送，彻底解决与数列求和有关的一些疑问，甚至包括数列不等式证明的放缩法。
01 前n项和定义复习
设计意图：
在数列递推公式中，经常会出现一类同时含有和与项的递推式，旨在考查数列前n项和的定义细节。
是不是已经发现，很多的同学都会在这里犯点小错呢。
当然，对于高手同学来说，大错不犯小错不断的毛病，有时真的是要命的。
所以，一定要提醒学生：在由和求项时，要注意检验n=1时通项是否成立。
一定，一定要提醒！
当然，对于几个常见的自然数列求和公式，相信同学应该能熟记的。
02 求和方法之公式法
设计意图：
最简单的数列求和，当然是公式法了。
这里刻意提到等差、等比数列前n项和的不同表述，主要是为了提醒学生，在使用这两个求和公式时要，要注意视情况灵活选用。
毕竟，哪怕是套用，活用公式方能提高解题质量。
确实，有时方法多了，反倒真的是个麻烦的。
但不管怎么说，对于多项式型数列的求和，首选方法考虑"公式法"就对了的。
0３ 求和方法之裂项相消法
设计意图：
“裂项相消法”应当是数列求和中最最重要的方法了。
因此，这一块的处理，我还是比较慎重的。
所以我从最常见的分母二次型分式的裂项，采用分层递进的方式，通过讨论和试写，让学生体会可裂项式的基本结构特征，以期使其裂项的水平，达到类似待定系数法的层次。
从分母二次型到分母三次型，应该算是理解层次上的一个小跨越了吧。
观察了一圈，发现写对的同学，有点爽歪歪，也是情之所至可以理解的了。
不过这都能凭感觉写出来，我也真认为他确实是有傲骄的资本的。
当然，课堂上最好还是通过具体的实例，让学生的感受更直观些。
所以这个过程，课堂上我是从最熟悉的
这种由浅入深地探讨和介绍，并总结成PPT中结论的样子，相信对同学的理解应该会有帮助的。
至于分子中同样含有n的，这种难度的跨越，确实就显得更大一些。
看着一众为难的表情，就不能做要求了。
但了解下，对于高手同学来说，还是挺公平的吧。
当然了，现在看推送的你，倒是可以先偷偷试下的。
反正，写不出来，也没人会知晓或嘲笑。
不过，写了这第一个后，让同学试着写下第二个，一定不算太过份了。
是不是你也能找到一点感觉了呢？
所以说，从“模仿”，到“感觉”，再到“经验”，往往是我们学习最好的途经。
其实，和前面一样，从分式的通分和因式分解，两个角度逆向思考，一定是不难得出结果的。
这种在实践和尝试中体会裂项相消的必然性，我相信对同学来说一定是个好的体会，也一定会有所触动的吧。
设计意图：
前面的裂项相消，主要针对的是分式型数列。
对于整式型数列的求和，就像是n(n 1)，除了像例１展开后用"公式法"，还能不能也像分式型一样，"裂项相消"呢？
确实，如果可以，对于记忆公式不理想的同学来说，一定是最好的福音了。
但是好像，实际的课堂上，同学都是很难想到的样子。
所以还是先写一个简单的，从因式分解的角度，逆向的分析了下，再让同学自己联想尝试，倒是真的成功了！
嗯，确实是值得称道的。
那它的前n项和，"瞪眼法"直接就看出来了。
没有计算量，没有公式的记忆，爽歪歪，绝对的爽歪歪！
类比一下，等差数列三项相乘时，一定是也是可以的喽。
看看，对于许多同学来说，现在是不是有一种，眼前一亮的感觉了呢。
按照这种套路，对于自然数列求和公式的证明，我们就再也不用总是傻傻地用数学归纳法了。
按照下面这个提示，做一些小小的“化归”处理，妥妥地可以秒解它们！
当然，一定还是要让学生先自己试一试，给同学展示的机会，万一有孩子灵感来了没挡住，是不是会觉得自己很厉害！
设计意图：
有了前面的系列推证，再来处理这样的例题，对于绝大部分同学来说，一定一定是小菜一碟了吧。
设计意图：
通过这个不一样的数列，只是想提醒同学，在数列求和时，如果没有找到合适的方法，还是尝试着"裂项相消"吧。
当然，相信这个尝试"相消"的过程，也会让自己对于"裂项相消"的体会，更加清晰的吧。
0４ 求和方法之错位相减法
设计意图：
"差比数列"，是不是很多同学都熟悉的呢？
是不是做了很多遍，依然还是发现错的同学很多很多、做的还很慢很慢呢？
所以，虽然内心很不屑，还是要很耐心地板演一遍计算过程，讲清楚其中易错的关键的。
因为不屑，我才又设计了一个问题：
除了错位相减，你能用裂项相消法求和么？
看看，刚刚的"裂项相消"，是不是想上天？似乎感觉自己，无处不在了！
但，但真的是可以的哦。
就问你，是不是很神奇！
而且这一下也终于是知道了，错位相减的结果，真的和传说中一样，有固定模式的：
那以后，还有什么理由，求和后不能再简单地检查一下呢？
有了这种结果，想错也错不了的吧。
那以后，还要那么繁琐的"错位相减"干什么？还是统一口经，统统“裂项相消”了吧。
至于是怎么写成这样的，当然还是要认真找找前面的感觉。
0５ 数列求和之倒序相加法
设计意图：
倒序相加，对数列的性质，要求是非常严格的。
感觉它所对应的函数，一般都应该具备对称性。
嗯，想想，一定是中心对称了。
不然，倒序后再相加，也没有太多共性的东西。
哦，有公因式，也许可能也是可以。
所以，综合前面几种求和方法，觉得最最靠谱，也是我们最应该研究的，就是"裂项相消"了，以后试卷中还出现"错位相减"，我只能说，只能说命题老师会不会是有点……
0６ 数列和(积)式不等式证明
设计意图：
数列不等式的证明，是我这个年纪，最怀念的数列题了。
确实，当年有很多的战友们，都曾被它虐的死去活来。
其实，这个问题中，最让人难以把控的，也仅是一个小小的放缩法而已。
但，放缩无定法，放缩真的是有些难的！
不过庆幸的是，慢慢的，它竟然淡出了高考的视野。
课堂上，我是极认真的分析了下，给出了放缩的具体思路，并提供了三种通法。
当然，如果你也想学习下，翻翻“素人素言”，一定会找到答案的。
