蒙氏数学数位知识（简单连分数形式下隐藏着的诡异数字）

蒙氏数学数位知识（简单连分数形式下隐藏着的诡异数字）连分数形式下的黄金分割比解法 请问这个数值A是多少？初看这个如此复杂的式子有点丈二和尚摸不着头脑，这玩意也能求？真的可以，我们很容易看到这个式子的分母部分要无穷递推下去，既然是无穷次递推，那么这里多一次或者少一次递推对结果都是没有影响的。实际上，这个问题如果严谨地解答，第一步还要论证一下A是收敛的才可以继续下面的工作。不过这里的已知条件告诉我们A是收敛到一个具体的值了。于是根据上面的分析，我们可以列出一个方程来。 左边和黄金分割率相关，右边是带有e的连续分式，我们也叫连分数。这个数居然还可以用这么优美的方式等价起来，真是典雅到不可思议。我们重点来讨论一下右半部分的连分数形式。 先来做一道中学数学题热热身：

说到拉马努金，这位大神简直就是BUG般的存在，他对于数学的直觉无人能敌，倘若他不仅仅只是32岁的生命，那么他绝对有可能会创造新的历史，让印度也成为世界数学大国。

印度之子 拉马努金

人们最佩服的是他怎么就能想到创造那些匪夷所思的等式来，还有一些他笔记本上的公式都快一百年了，人类都没有完全揭开背后的谜题，有些奇思妙想的式子，到现在都只是知道这是对的，却还是不知道拉马努金是怎么得来的，他总说这是智慧女神梦中告诉他的。你信么?晓然菌绝对不信，他肯定有自己的一套办法得出的，最欣赏的是这个公式。

拉马努金等式

左边和黄金分割率相关，右边是带有e的连续分式，我们也叫连分数。这个数居然还可以用这么优美的方式等价起来，真是典雅到不可思议。我们重点来讨论一下右半部分的连分数形式。

先来做一道中学数学题热热身：

请问这个数值A是多少？初看这个如此复杂的式子有点丈二和尚摸不着头脑，这玩意也能求？真的可以，我们很容易看到这个式子的分母部分要无穷递推下去，既然是无穷次递推，那么这里多一次或者少一次递推对结果都是没有影响的。实际上，这个问题如果严谨地解答，第一步还要论证一下A是收敛的才可以继续下面的工作。不过这里的已知条件告诉我们A是收敛到一个具体的值了。于是根据上面的分析，我们可以列出一个方程来。

连分数形式下的黄金分割比解法

这个求解过程可能有些同学们有点不太容易接受，但是这个思路却是很自然而然的，如此简单的一个规则，到最后居然是等于黄金分割率，是不是很有意思。

设计中处处体现黄金分割比

既然黄金分割比0.618...可以用这种方式来表示，那么别的数呢？数学上证明过，任意一个实数都是可以表示成上面的连分式形式。当然也是可以的，只不过无理数中下面的连分数是无限的，而有理数的连分数形式都是有限的。既然实数都可以用连分数表示，那不就相当于是我们日常使用的大部分数都可以用这种方式来表示了。

可能有些同学会注意到，A连分数形式的分母中的1都加了下划线。这些加了下划线的数字有什么特别吗？当然有，这些1在连分数形式下就好像是坐标一样，牢牢地帮助我们去定位了最终的黄金分割比。我们现在把一个数的整数部分提取出来，再把这些划线的1分别排开，于是黄金分割率Ф=0.6180339887 ...=[0;1 1 1 1...] 这里的0是Ф的整数部分。我们再来看几个经典的连分数形式：

连分数形式下的根号2

这里的根号2如果用连分数形式来表示，就是[1;2 2 2 2...]了。有兴趣的同学可以证明一下上面这个等式。

观察上面几个连分数的例子，对于一般无理数，我们仿佛已经习惯了这样无穷简单的表示形式了，那对于一些特殊的无理数呢？比如圆周率π呢？这又是怎么的景象，从连分数开始出现之后就有人做了研究，得出π的连分数形式是什么了？

连分数形式下的π

由于π这个数字是超越数，我们就很难找到一种简单的方式来表示，[ ]内的数字肯定不像上面那样有明显的规律。π=[3;7 15 1 292 1 1 1 2 1 3...]。

通过上面的这几个式子我们发现，用这种方式来表示某个数字，也是很简单明了，让人印象深刻。不过话说回来，我们为什么好好的十进制表示法不用，要来琢磨这种表示方法呢？肯定是有意义的啊。我们可以通过连分数迅速地得到逼近真实无理数值的一个分数。

我们来试试利用连分数形式来找π的近似分数值。

假设我们这里逐渐提高精度来操作，于是

连分数形式下逐步逼近π

其中(1)中的22/7是约率，(2)中的355/113叫密率。这两个相当接近真实圆周率的数值是我国南北朝时期伟大的数学家祖冲之首次得到的。在中学时代，晓然菌看到一本书上写着这样一句话，这里的密率355/113的精确度在分子分母1000以内的最接近圆周率的一个分数值，与真实π仅相差千万分之三！我们现在已经不清楚祖大神当年是通过怎样的计算找到密率的值的，事实上那个时候的晓然菌也想不通，直到看到连分数可以无限逼近真实数值的方法之后才恍然大悟。

祖冲之大神

祖大神用的方法是割圆术求圆周率，实际操作中，他不断用正多边形来逼近一个真正的圆，使得这个圆的面积在内外接正多边形的范围之间，随着正多边形边数的增加，这个区间越来越小，那么求到的圆周率就越来越接近真实值。祖大神当年计算到正12288边形才把圆周率精确到小数点后7位！现在看来，祖大神用的方法应该跟这里的连分数逼近法很相似。只要重复这样的过程，就可以很方便地得到分数形式的近似值。

人们都认可的连分数在某种情况下的确有着比十进制表示法更方便。但是人们也从来没有想到，在这个看似自然而然的表示方法下，隐藏着一个巨大且诡异的谜题。

苏联数学家亚历山大·雅科夫列维奇·辛钦

1964年，苏联数学家亚历山大·雅科夫列维奇·辛钦证明了，几乎对于所有的实数都有，下面这个结论：

连分数 定义

其中a0 a1 a2 ...的几何平均数会趋向于一个固定的常数K，这里的K也叫辛钦常数。目前计算的结果，大约是2.6854520010...。用数学语言表示就是：

辛钦常数的定义

任意实数都可以用上面的连分数形式来表示的结论，我们想想完全能够接受，这里的a0 a1 a2...都可以是整数，我们好好思考后也勉强接受。现在又出来一个更加无厘头的结论说的是这里的a0 a1 a2...之间都是有关系的，它们的几何平均值居然还能收敛在一个值附近！这个实在太难以让人接受了！

也就是说π=[3;7 15 1 292 1 ...]，把这里的所有整数相乘再开n次方会逼近2.685452...

现在也找不到资料来证实当年辛钦是怎么从连分数形式里提炼出这个惊人的结论。事实上，我们稍加思考就能意识到，辛钦应该是通过大量的实例分析后才归纳出这个结论来，因为，对于任意一个符合条件的无理数，这样的计算都是空前繁杂的，60年代，正是大型计算机发展地如火如荼的时代，辛钦本人应该是借助了计算机才完成了这样的猜想并且给出了证明。

第一台电子计算机 埃尼阿克

20世纪90年代，人们用了IBM RS6000/590工作站，计算了2.5小时，得到了K的前7350位，这个常数值的确稳定地存在着。辛钦常数已经发现了快60年了，但是数学家们对于这个数的研究却非常有限，人们甚至都无法判断这个数字是无理数还是有理数这个根本性问题。不知道大家注意到没有，辛钦的论述是几乎所有的实数都满足，那有哪些实数不满足呢？目前为止的研究表明，有理数、实系数二次方程的解（比如黄金分割率就不满足），特别的人们发现自然对数的底e也不满足。但是为什么π却满足呢？e和π不是最著名的超越数么？究竟符合什么条件的实数才会出现辛钦常数呢，这个问题显然对于现代的数学水平要求太高，人们完全没有能力去解决，这个恐怕要再等上许多年了。

π和e的相同与不同

种种迹象表明，这个常数的存在绝对不是偶然的，在这背后肯定有非常深刻的原因。也许是辛钦过早地发现了这个结论，远远超越了现代人类数学发展的水平，所以即使过了六十年，数学界也基本上对于这个问题无从下手。

辛钦常数的发现完全出乎了人们的意料，就像是一个刚刚完全干涸的池塘里下了一场小雨之后居然发现这里有一条超级大鱼，人们根本想不到这里会出现一条大鱼，更加也不明白为什么这里会有大鱼。只能希望，我们以后的数学发展能够从本质上揭示这个诡异常数存在的真正原因了。