斐波那契数列的一般公式推导：斐波那契恒等式和秦九韶公式的奇妙联系
斐波那契数列的一般公式推导：斐波那契恒等式和秦九韶公式的奇妙联系注释2a² b²-2(px qy)=c²把(3)式展开p²-2px x² y²-2qy q²=c²p² q² x² y²-2(px qy)=c²
斐波那契恒等式和秦九韶三斜求积公式是东西方数学的研究成果，两位同时期的数学家远隔万里没有交集，恒等式和秦九韶公式看上去风马牛不相及。2020年，中学数学杂志发表的一篇文章揭示了二者之间产生的奇妙联系，读来引人入胜，如沐春风。
用斐波那契恒等式证明秦九韶公式本文主要介绍中学老师曹嘉兴的研究成果。下面的图片是我抄录的全文，之间穿插几条我的注释，帮助大家更好地阅读和理解。
原文标题：秦九韶公式的两个奇妙证明
注释1
把(3)式展开
p²-2px x² y²-2qy q²=c²
p² q² x² y²-2(px qy)=c²
a² b²-2(px qy)=c²
注释2
py-½xy-½pq-½(p-x)(y-q)
=py-½xy-½pq-½(py-pq-xy qx)
=½(2py-xy-pq-py pq xy-qx)
=½(py-qx)
注释3
a² b²-c²=x² y² p² q²-(q x)²
=x² y² p² q²-q²-2qx-x²
=p² y²-2qx
∵p=y ∴p² y²=py py=2py
注释4
矩形面积等于三角形面积的两倍，所以得到④式。
总结和读后感总结：看完原文，衷心的赞叹不已，perfect，无懈可击。好比看了一场精彩的演出，神奇又令人回味无穷，感到不可思议。
曹老师独创的两个证明构思巧妙，用辅助图形搭桥，严谨的推理环环相扣，层层推进，用斐波那契恒等式证明了秦九韶公式，具有无可辩驳的逻辑力量。
这两个证法都超越了辅助线，而是使用了辅助图形协助论证。辅助元素可以是一个点，或者是一条线，也可能是一个图形。使用矩形作辅助图形的目的，就是构造直角三角形，用小学数学的三角形面积公式和勾股定理来证明秦九韶公式。用辅助图形架桥，使用了面积方法，完成了漂亮的证明。我们也体会到了面积法的妙用。
根据吴文俊先生的古证复原成果，秦九韶失传的原证应该是包含了三角形面积公式，勾股定理，折竹求高公式的综合体。
初步认识斐波那契恒等式斐波那契(Fibonacci，1170-1250)是意大利数学家，他早年随父在北非师从阿拉伯人学习数学，后游历地中海沿岸诸国，1202年回到意大利故乡比萨，用拉丁文写作其代表作《算盘书》。
《算盘书》中出现了和《孙子算经》中一样的同余式问题。有学者认为，一种可能是通过丝绸之路由阿拉伯人传授了这一算法，也可能是偶然巧合。比利时学者李倍始在《十三世纪中国数学》书中认为斐波那契没有对其解法作理论或一般解释，因此他的解题水平并没有超过《孙子算经》。
《数学名题词典》截图
上图是《算盘书》中的一个比例问题。解题关键是用归一法求出每人每天的植树株数。
《算盘书》系统地介绍了印度计数法和阿拉伯与希腊的数学成就，影响并改变了当时欧洲的数学面貌。书中有斐波那契恒等式，以及著名的斐波那契数列。
(ac-bd)² (bc ad)²=(a² b²)(c² d²)......①
(ac bd)² (bc-ad)²=(a² b²)(c² d²)......②
上面两个等式称为斐波那契恒等式。第一次见面感觉陌生，那就举个例子让大家熟悉一下。
请看下图，△ABC是直角三角形，D是斜边AB上的动点。假设D是直角三角形ABC的外接圆圆心，CE是斜边上的高，a，b，c，d都是正数，含义如图所示。
根据勾股定理，斜边AB=10，CD是外接圆的半径=5，高CE=6×8÷10=4.8，根据射影定理，AE=3.6，BE=6.4，所以DE=5-3.6=1.4。
现在我们把a，b，c，d这四个数代入斐波那契恒等式，看看两边是否相等。
先算左边，代入数据得
(6×4.8-8×1.4)² (8×4.8 6×1.4)²
=(28.8-11.2)² (38.4 8.4)²
=17.6² 46.8²
=309.76 2190.24
=2500
再算右边，代入数据得
(6² 8²)(4.8² 1.4²)
=(36 64)(23.04 1.96)
=100×25
=2500
验证完毕，只要你计算过程不出错，恒等式当然成立。
斐波那契恒等式的正确性只用初中数学知识也能证明。
(ac-bd)² (bc ad)²=(a² b²)(c² d²)......①
(ac bd)² (bc-ad)²=(a² b²)(c² d²)......②
①式左边展开得
(ac-bd)² (bc ad)²
=a²c²-2abcd b²d² b²c² 2abcd a²d²
=a²c² b²d² b²c² a²d²
②式左边展开得
(ac bd)² (bc-ad)²
=a²c² 2abcd b²d² b²c²-2abcd a²d²
=a²c² b²d² b²c² a²d²
①式和②式的右边展开得
(a² b²)(c² d²)=a²c² a²d² b²c² b²d²
所以，得到结论
①式和②式这两个斐波那契恒等式成立。
斐波那契恒等式和代数，几何，数论等几个分支的定理都有联系，这是数学是一门关系学的具体体现之一。
科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。
