高斯不等式难题：他在刷牙的瞬间破解了困扰数学家半个世纪的

高斯不等式难题：他在刷牙的瞬间破解了困扰数学家半个世纪的没有人确切知道，在21世纪，罗伊恩的证明为什么传播得如此缓慢。克拉塔格说:“在一个信息交流非常容易的时代，这显然是缺乏交流。”最后，在2015年12月，波兰数学家Rafał Latała和他的学生Dariusz Matlak发表了一篇论文来宣传罗伊恩的证明，并以一种一些人认为更容易理解的方式对其进行了调整。现在消息传开了。海德堡理论研究所(Heidelberg Institute for Theoretical Studies)的统计学家蒂尔曼·格内廷(Tilmann Gneiting)表示，2016年7月，也就是GCI被证明的两年后，他很震惊。理查兹说，看到这个证明，“我真的很自责。”几十年来，他和其他专家一直在用越来越复杂的数学方法攻克GCI，并肯定需要在凸几何、概率论或分析方面大胆的新想法来证明这一点。一些数学家经过多年徒劳的努力，开始怀疑这个不等式实际上是错误的。然而最终，罗伊恩的

2014年7月17日上午，德国一位鲜为人知的退休统计学家托马斯·罗伊恩(Thomas Royen)在刷牙时，突然发现了一个关于几何、概率论和统计学交叉领域的著名猜想的证明，几十年来，顶尖专家一直在研究这个猜想。

这个猜想被称为高斯相关不等式(GCI)，起源于20世纪50年代，在1972年以最优雅的形式提出，并一直使数学家们为之着迷。宾夕法尼亚州立大学(Pennsylvania State University)的统计学家唐纳德·理查兹(Donald Richards)说，“我知道有人在这方面工作了40年。”“我自己在这上面工作了30年。”

在如何证明高斯相关不等式的“原始想法”出现在他的脑海之前，罗伊恩并没有对它进行太多思考。他以前是一家制药公司的雇员，1985年，为了有更多的时间改进他和其他行业统计学家用来解释药物试验数据的统计公式，他去了德国宾根的一所小型技术大学。2014年7月，作为一名67岁的退休人员，罗伊恩仍在研究他的公式，他发现GCI可以拓展到他很擅长的一个统计分布中去。17日上午，他看到了如何计算这个扩展的GCI的关键导数，从而解开了这个证明。“今天晚上，我的初稿就写好了，”他说。

由于不知道数学中的文字处理软件LaTeX，他在微软word中输入了他的计算结果，然后在接下来的一个月里，他把他的论文发表在了学术预印本网站arxiv.org上。他还把它寄给了理查兹，而理查兹在一年半前曾短暂的将自己失败的证明过程发给圈内人传阅。理查兹说:“这篇文章是他通过电子邮件发给我的。”“当我看到它的时候，我立刻知道它解决了。”

理查兹说，看到这个证明，“我真的很自责。”几十年来，他和其他专家一直在用越来越复杂的数学方法攻克GCI，并肯定需要在凸几何、概率论或分析方面大胆的新想法来证明这一点。一些数学家经过多年徒劳的努力，开始怀疑这个不等式实际上是错误的。然而最终，罗伊恩的证明是简短而简单的，只填了几页纸，使用了经典的数学技巧。理查兹很震惊，他和其他人都没想到。“但另一方面，我也必须告诉你，当我看到它时，我松了一口气，”他说。“我记得我心里想，我很高兴能在死前看到它。”他笑了。“真的，我很高兴我看到了它。”

理查兹通知了几位同事，甚至帮助罗伊恩用软件重新打印，使论文显得更专业。但理查兹和罗伊恩联系的其他专家似乎对他的戏剧性声明不屑一顾。几十年来，关于GCI的虚假证据反复出现，包括2010年以来出现在arxiv.org网站上的两个。

名不见的作者一开始会被忽视，但通常不会持续太久:专家们说，像罗伊恩这样的重要论文通常会被提交，然后在《统计年鉴》(Annals of Statistics)之类的地方发表，然后所有人都会听说它。但是，罗延选择了跳过要求很严格的顶级期刊，顶级期刊审核缓慢且往往要求很高的同行评议过程。他选择了在印度阿拉哈巴德的《远东理论统计杂志》(Far East Journal of Theoretical Statistics)上迅速发表文章，这是一份专家们基本不知道的期刊。

最后，在2015年12月，波兰数学家Rafał Latała和他的学生Dariusz Matlak发表了一篇论文来宣传罗伊恩的证明，并以一种一些人认为更容易理解的方式对其进行了调整。现在消息传开了。海德堡理论研究所(Heidelberg Institute for Theoretical Studies)的统计学家蒂尔曼·格内廷(Tilmann Gneiting)表示，2016年7月，也就是GCI被证明的两年后，他很震惊。

没有人确切知道，在21世纪，罗伊恩的证明为什么传播得如此缓慢。克拉塔格说:“在一个信息交流非常容易的时代，这显然是缺乏交流。”

“但无论如何，至少我们找到了它，”他补充道，“它很美。”

GCI最著名的形式是在1972年提出的，它将概率论和几何学联系到了一起：它在掷飞镖游戏中，包括更高维度的假想飞镖游戏中，给飞镖的位置概率确立了一个下限。

想象两个凸多边形，如一个矩形和一个圆，现在将两者重合的中心点作为中心目标。掷向目标的飞镖将以钟形曲线或“高斯分布”的形式围绕中心点降落。高斯相关不等式表示飞镖同时落在矩形和圆形内的概率总是等于或大于它落在矩形内的概率乘以它落在圆形内的概率。简单地说，因为两个形状重叠，所以，投中其中一个时，投中另一个的概率也会提高。而且，只要中心点重合，任意维度的任意两个对称凸多边形，都适用于这一原则。

GCI的一些特例已经被证明——例如，在1977年，弗吉尼亚大学的罗兰·皮特(Loren Pitt)证明了它适用于二维凸形——但所有试图证明它的数学家都无法证明一般情况。1973年，皮特在新墨西哥州阿尔伯克基的一次会议上与同事共进午餐时，第一次从同事口中得知了这个不等式。自此他就一直在尝试。他说:“作为一名傲慢的年轻数学家……我很震惊，那些把自己视为受人尊敬的数学和科学人士的成年男性竟然不知道这个答案。”他把自己锁在汽车旅馆的房间里，确信自己会在出来之前证明或反驳这个猜想。“大约50年后，我仍然不知道答案，”他说。

尽管数百页的计算毫无结果，皮特和其他数学家还是确信——并将他的二维证明作为证据——GCI的凸几何框架将导致一般性的证明。皮特说:“我已经形成了一种思考这个问题的概念性方式，或许我过于执着于此了。”“而Royen所做的与我的想法完全相反。”

Royen的证明可以追溯到他在医药产业的从业经历，以及高斯相关不等式本身鲜为人知的起源。在以“对称凸多边形”这种表述出现以前，GCI于1959年就诞生了，美国统计学家奥利弗·多恩（Olive Dunn）提出这一不等式，用来计算“同步置信区间”，即多个变量会同时落入的估计区间。

假设您要根据测量样本估算给定人口中95％的体重和身高范围。如果在x – y图上绘制人们的体重和身高，则体重将沿x轴形成高斯钟形曲线分布，而高度将沿y轴形成钟形曲线。重量和高度一起遵循二维钟形曲线。然后您可以问，体重和身高范围是多少-称它们为– w < x < w和– h < y < h –使得95％的人口将落入由这些范围形成的矩形内？

如果重量和身高是独立的，则只需计算给定重量落入– w < x < w以及给定身高落入– h < y < h的各个几率，然后将它们相乘即可得出两个条件都满足的几率。但是体重和身高是相关的。与飞镖和重叠形状一样，如果某人的体重落在正常范围内，则该人更可能具有正常的身高。Dunn概括了三年前提出的不等式，推测如下：两个高斯随机变量同时落在矩形区域内的概率始终大于或等于每个变量落入其指定范围内的各个概率的乘积。（这可以概括为任意数量的变量。）如果变量是独立的，则联合概率等于各个概率的乘积。但是变量之间的任何相关性都会导致联合概率增加。

罗伊恩（Royen）发现，他可以将GCI泛化为不仅适用于随机变量的高斯分布，而且还适用于与高斯分布的平方相关的更一般的统计分布，称为伽马分布，在某些统计检验中使用该分布。他说：“在数学中，似乎经常可以通过回答一个更普遍的问题来解决一个看似困难的特殊问题。”

他对伽玛分布的熟悉激发了他在刷牙时的灵感。他知道他可以运用经典的技巧将其功能转换为更简单的功能。突然，他意识到此变换函数的导数等效于原始函数的导数的变换。他可以很容易地证明，后者的导数始终是正的，证明了GCI。皮特说：“他的公式使他能够发挥自己的魔力。” “而且我没有公式。

专家们说，统计学专业的研究生都能看懂证明过程。罗伊恩（Royen）表示，这个“出奇简单的证明方法……也许能鼓励年轻学子发挥创造力，发现新的数学定理，”因为“有时候，你并不需要非常高的理论水平”。

不过，一些研究人员仍然希望从几何学角度来证明GCI。罗恩的分析证明实际上使凸几何学中出现了一些令人匪夷所思的新现象，而通过几何学的证明途径，这些现象或许才可以得到解释。皮特还指出，GCI定义了重叠凸多边形表面向量之间的有趣关系，这有望发展成凸几何学中一个新兴的子领域。“至少现在我们知道，（这种向量之间的关系）是成立的。”不过，“如果能从几何学角度理解GCI，我们就能解开现存的一类难题。”

理查兹说，除了GCI的几何含义外，不等式的变化可以帮助统计学家更好地预测股价等变量随时间波动的范围。在概率论中，GCI证明现在允许精确计算“小球”概率中出现的速率，这与粒子在流体中运动的随机路径有关。理查兹说，他推测了一些扩展GCI的不等式猜想，他现在可能会尝试用罗伊恩（Royen）的方法来证明。

Royen的主要兴趣在于改进许多统计测试中使用的公式的实际计算——例如，根据对几个变量的测量来确定一种药物是否会导致疲劳，比如病人的反应时间和身体的摆动。他说，拓展后的GCI确实能改进医药领域的统计工具，最近，他的另一些GCI相关研究也带来了现实中的改进。GCI猜想得到证明后，并没有引起轰动，罗伊恩也并没有特别失望或惊讶。“我习惯了经常被德国(顶级)大学的科学家忽视，”他在一封电子邮件中写道。“我没有‘社交’的天赋，也没有很多联系人。我不需要这些东西来提高我的生活质量。”

能够证明一个重要猜想，这件事本身就让罗恩产生了“深刻的喜悦和感激之情”，他觉得这就已经足够。

“它就好像某种恩赐。”他说，“我们可能在一个问题上费了很长时间，突然有一天，神经元的神秘运作就像天使一般，带来一个绝妙的点子。”