动能定理研究报告（技术文章诺特定理）
动能定理研究报告（技术文章诺特定理）参考系旋转一个角度，不会改变地球绕太阳的运动规律所以，在物理上，能量守恒定律是可以这么例证的。以地球绕着太阳公转为例子，能量守恒就是地球的动能和势能的和不随着时间变化。给个更通俗的例子，今天去打篮球，明天再去打篮球，篮球的运动规律不会因为时间的变化而变化。这当然是肯定的，否则乔丹今天会打篮球，明天就不会打篮球了，这不是笑话吗[捂脸]
很多在物理上很容易解释的东西，一旦要搬到数学上严格证明，就会变得特别抽象。
诺特定理，用物理语言来说就是，每一个对称必然存在着一个守恒。
这里的对称，指的是在参考系变化下的某种不变性。
高中物理上的能量守恒定律、动量守恒定律，都是这种对称性的体现。
以地球绕着太阳公转为例子，能量守恒就是地球的动能和势能的和不随着时间变化。
给个更通俗的例子，今天去打篮球，明天再去打篮球，篮球的运动规律不会因为时间的变化而变化。
这当然是肯定的，否则乔丹今天会打篮球，明天就不会打篮球了，这不是笑话吗[捂脸]
所以，在物理上，能量守恒定律是可以这么例证的。
参考系旋转一个角度，不会改变地球绕太阳的运动规律
动量守恒，通俗点可以这么解释：乔丹在打篮球，我站在原地观测和我往前走一步观测，都不会导致他不会打篮球了。
也就是说，篮球的运动规律不会因为参考系的平移而发生变化。
如果篮球的运动规律因为参考系的平移而变化了，乔丹就会因为我往前走了1步而不会打篮球了，这显然又是一个笑话[捂脸]所以动量是守恒的。
能量和动量的守恒，数学说法就是它们关于时间t的导数为0：
dE / dt = 0，
d (mv) / dt = 0。
时间或空间变化一点的情况下，能量或动量都是不变的。
变化一点的量就是对称，不变的量就是守恒。
但是一旦搬到数学上来，诺特定理就没办法这么通俗地解释了。
按照拉格朗日的方法，描述物体的运动状态需要一个拉格朗日函数L(q q' t)。
q是坐标，q'是速度，t是时间，知道了坐标和速度就可以确定质点的运动轨道。
这里暗含着对质点的作用力的传播不需要时间，因为函数里不包含表示力的传播速度的物理量c，这是经典力学的基本假设：即力是瞬时超距的。
如下图，物体的运动轨迹是一个椭圆，它是一条1维的曲线，在微分几何上把它叫作流形。
在这个椭圆（流形）上，物体的速度是每一点的切线方向，当然我们可以让切矢量的长度等于速度的大小。
切线是一条直线，直线在数学上也是一个空间，可以把它叫作切空间。
例如实数集R是一个空间，实数集就是直线（实数轴）。
切空间的并集叫作切丛，它的维数是（轨迹）流形的2倍：平面上的曲线是1维的，但平面是2维的。
当然经典物理上的坐标是3维的，速度也是3维的，切丛是6维的，所以拉格朗日函数L其实是从切丛TM到实数集R的一个映射。
拉格朗日量L对时间t的积分，在物理上叫作作用量，物体总是沿着作用量最小的轨道运动：
也就是使上面的积分最小化，其中t0和t1分别是运动的起始和终止时间。
物体的运动方程是什么呢？
就是从时间t所在的集合R，到坐标空间（流形M）的一个映射。
运动轨道当然是随着时间而变化的：时间是自变量，坐标是因变量，时间是1维实数，坐标是3维空间地点。
变化规律也就是动力学方程，符合欧拉-拉格朗日方程：
欧拉-拉格朗日方程的通俗解释如下：
1，右边是势能对坐标的导数，也就是作用力F，
2，左边是动能对速度的导数（也就是动量mv）再对时间的导数，即加速度a乘以质量m，
3，它就是F = ma，即牛顿第二定律。
在坐标系的变换之下，牛顿第二定律是不能变的：坐标系的变换只是观察视角的不同，而牛顿第二定律是基本物理规律。
坐标系的变换构成一个群，不管是平移一段距离s还是旋转一个角度都只需要一个参数。阿诺尔德把它叫作单参数微分同胚群。
它是坐标空间（流形M）到自身的一个映射：，这个变换必须保证欧拉-拉格朗日方程（即牛顿第二定律）成立。
否则就会出现一个笑话：我看乔丹打篮球，我往前走了1步，然后他不会打篮球了[捂脸]
经过这么一个变换之后，坐标q和速度q'不但跟时间t有关，还跟这个参数s有关：
也就是说从q = q(t)变成了q = q(s t)，连带的拉格朗日量变成了L( q(s t) q'(s t) t).
因为要保持L不变，也就是L对s的偏导数为0：，把他展开就是：
，第二项对t的导数和对s的导数可以交换顺序。
把欧拉-拉格朗日方程的左边带进上面的式子，代替 ，可得：
，
上面的公式是一个全微分，类似于p'q pq' = (pq)'，所以可以得到：
也就是存在一个不随时间变化的守恒量，对上面的式子积分就可以获得这个守恒量（括号里面的部分）。
最后给个艾米诺特的照片。
她的成就，我觉得男数学家里可以和她相提并论的也就欧拉、伽罗瓦、黎曼、高斯这4个，至少牛顿和莱布尼茨是不大够格的[捂脸]
艾米 诺特
