鸡爪定理是谁提出的：鸡爪定理之九
鸡爪定理是谁提出的：鸡爪定理之九由第三篇第4题的证明知QTYX共圆， （1）如图设M N分别为△ABC的外接圆O’上弧 CA、AB 的中点．过点A 作AP//MN 交圆O’于 P点， I为△ABC的内心，连接PI并延长交圆O于T ．思路分析： 显然本题与第三篇第4题有紧密的联系，由那题可得QXY过圆O’上定点T，进而由相交两圆性质得到相似三角形即可解决第1问；联想到第二篇第1题即可解决第2问；利用鸡爪定理即可解决第3问。证明：
1、如图，Q是△ABC外接圆上不含A的弧BC上动点，X、Y为△ABQ、△AQC内心，O为△QXY外心。
（1）求证：O在某个定圆上运动。
（2）以XY为直径的圆恒过定点，（2003年国家集训队资料第10题）
（3）XY中点在定圆上；（2003年国家集训队资料第10题）
思路分析：
显然本题与第三篇第4题有紧密的联系，由那题可得QXY过圆O’上定点T，进而由相交两圆性质得到相似三角形即可解决第1问；联想到第二篇第1题即可解决第2问；利用鸡爪定理即可解决第3问。
证明：
（1）如图设M N分别为△ABC的外接圆O’上弧 CA、AB 的中点．过点A 作AP//MN 交圆O’于 P点， I为△ABC的内心，连接PI并延长交圆O于T ．
由第三篇第4题的证明知QTYX共圆，
则2∠OO'T=∠QO'T=2∠QNT
2∠QXT=∠QOT
则∠NXT=∠O'OT
故△NXT∽△O'OT，
结合鸡爪定理则O'O:NI=O'O:NX=O'T:NT
即O'O=NI*O'T:NT为定值，
即O的轨迹为以O'为圆心，NI*O'T:NT为半径的圆。
（2）由第二篇第1题知XI⊥YI
故以XY为直径的圆恒过定点I；
（3）由鸡爪定理得NI=NX
又由（2）知KX=KI 故NK⊥XI 同理MK⊥YI
故NK⊥KM
故K在以MN为直径的圆上。
2、已知O是锐角△ABC的外心，作OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AF于F。
求证：OD＋OE＋OF＝R＋r，其中R、r分别是△ABC外接圆、内切圆半径。（卡诺定理）
分析：
由垂足想到四点共圆，可以写出托勒密定理；要证明结果含有r，可以考虑尝试面积公式，最后由面积关系得到等式。
证明：
设△ABC的三边分别为2a、2b、2c。
由垂直得到三组四点共圆，
根据托勒密（P'tolemy）定理：
OE*c＋OF*b＝R*a，①
OF*a＋OD*c＝R*b，②
OD*b＋OE*a＝R*c，③
另一方面由面积关系得到
OD*a＋OE*b＋OF*c＝S[△ABC]＝r(a＋b＋c)，④
①＋②＋③＋④得
(OD＋OE＋OF)(a＋b＋c)＝(R＋r)(a＋b＋c)，
约去(a＋b＋c)即得结论。
3、四边形ABCD内接于圆，△BCD △ACD △ABD △ABC内接圆半径分别为a b c d。
证明a c = b d。[3]
思路一：
看到本题想到第二篇第1题，从而得到此四个内心构成长方形，然后想到矩形任意一点到矩形的对顶点距离平方和相等以及含有内心外心距离的欧拉公式——第二篇第2题即可解决本题。
证明一：
设圆O半径为R，
由第二篇第1题得到此四个内心A'B'C'D'构成矩形，
过O作矩形两临边垂线FH IG，由勾股定理得
A'O^2 C'O^2=IO^2 FO^2 GO^2 HO^2=B'O^2 D'O^2;
由第二篇第2题得到A'O^2=R^2-2Ra，类似得到其余，带入上式即得R^2-2Ra R^2-2Rc=R^2-2Rb R^2-2Rd
即a c = b d。
思路二：
同思路一得到四个内心构成矩形，将结果改成差的形式，用三角函数分别计算出来两个差，结合共圆即可得到结果。
证明二：
设ABCD四个角分别为2A 2B 2C 2D
则A C=B D=90°；
由第二篇第1题知A'B'C'D'为矩形，
且A'B'DC共圆，
作A'F⊥CD B'G⊥CD A'H⊥B'G
则∠A'B'H=180°-C-(90°-D)=90° D-C;
同理∠D'C'I=180°-B-(90°-A)=90° A-B
=90° D-C=∠A'B'H
故b-a=B'H=A'B'sin∠A'B'H
=D'C'sin∠D'C'I=c-d
即a c = b d。
思路三：
由内接圆与外接圆半径想到第2题，再用推广后的有向距离消掉O到对角线的距离即得。
证明三：
设圆O半径为R，
由第2题推广后的卡诺公式，对△ABC，△ACD，
得到R b=OH OI OK
R d=OG OF-OK
上述两式相加得到
2R b d=OG OF OH OI;
对另外两个三角形同理得到
2R a c=OG OF OH OI
即a c = b d。
4、已知：如图，△ABC外接圆为圆O，角A的平分线交BC、圆O于D、P，过D作AB垂线交AB、圆O于E、Q，QC交AF于G。
求证：EG//FC(2012年中国台湾数学奥林匹克选拔考试)
证明思路分析：
初看证明欲结果平行，路有点多，不好选择，最好先探究图形基本特征。
由鸡爪定理基本构型，知ADFQ共圆，从而EG//FC<=>∠DEG=∠EDF=∠QAG
<=>AGEQ共圆
<=>∠AGQ=90°(因为∠AEQ=90°)
<=>∠AKQ=∠ALQ(因为由共圆得∠DAF=∠DQF)
<=>∠APQ ∠PQC=∠APQ ∠PAB
<=>∠PQC=∠PAB
<=>PA为∠CAB平分线，
显然成立，故结果成立。
