高中数学基本知识不等式（高中数学必修第一册第二章第二节基本不等式知识点及例题讲解）

高中数学基本知识不等式（高中数学必修第一册第二章第二节基本不等式知识点及例题讲解）其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数。如果a>0 b>0，那么，当且仅当a=b时，等号成立。∀a b∈R，有a² b²≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立。变形式有：ab≤ 4ab≤ 。2、基本不等式

2.2基本不等式

一、重要知识点

知识点1 基本不等式

1、重要不等式

∀a b∈R，有a² b²≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立。

变形式有：ab≤ 4ab≤ 。

2、基本不等式

如果a>0 b>0，那么，当且仅当a=b时，等号成立。

其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数。

基本不等式可以叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

基本不等式的常见变形式有：a b，（a>0 b>0）。

基本不等式的常用结论：

（1），当且仅当a=b时取等号；，当且仅当a=—b时取等号。

（2）2（a>0），当且仅当a=1时取等号；≤-2（a<0），当且仅当a=-1时取等号。

知识点2 最值定理

已知都是正数，

（1）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x y有最小值2；

（2）如果和x y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值。

最值定理简记为：和定积最大，积定和最小。

注：(1)最值定理是求最值时应用极其广泛的定理之一。

（2）利用基本不等式求最值时要牢记三个关键词：一正、二定、三相等。

①一正：各项必须为正。

②二定：各项之和或各项之积为定值。

③三相等：必须验证取等号时条件是否具备。

（3）应用基本不等式求最值的关键：依据定值去探求最值，探求的过程中常需根据具体的问题进行合理的拆、凑、配等变换。

（4）基本不等式最值模型：

①若a＞0，b＞0 x＞0 其中a b为常数，则y=ax ，当且仅当时等号成立。

②一般地，形如y=，的最值的求解可以转化为的最值模型 这里可看作关于的代数式。这种模型在高考中的解析几何求最值问题中应用广泛。

知识点3 基本不等式的证明方法

数学证明命题的两种常用方法：分析法和综合法。（以证明基本不等式为例）

分析法：要证，即证，即证，即证。当且仅当时，等号成立。

分析法的格式：要证…，只需证（即证）…

综合法（将分析法的过程倒过来叙述）：

>0 b>0，

即，即，

即，当且仅当时，等号成立。

总结：（1）分析法: 分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证明的结论出发，逐步寻求使所证结论成立的充分条件，直至把要证明的结论归结为一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理、常识等）为止。

能够用分析法证明的命题必须具有推理的可逆性和推理结果的唯一性。分析法常用于证明已知条件与结论之间的联系不够明显，直接证明需要用哪些知识不太明确的情况，此时为了能够快速、准确地证明结论，可以尝试从结论出发，结合已知条件，逐步反推，逐步寻求使命题成立的充分条件。

(2) 综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。

综合法的格式：因为…，所以…（或…， …）

知识点4 基本不等式的变式与拓展

1. 基本不等式链

若a＞0，b＞0 则，当且仅当时，等号成立。其中叫做a b的算术平均数，叫做a b的几何平均数，和分别叫做a b的调和平均数和平方平均数。

注：以下四组不等式可以作为基本不等式的应用形态：

①（a＞0，b＞0）； ②（a＞0，b＞0）；

③ ； ④

2. 权方和不等式：

若，则，当且仅当时等号成立。

这个不等式可称之为权方和不等式，在实际中有着广泛的应用。

3.基本不等式的拓展

（1）三元基本不等式

若a b c均为正实数，则

；

；

；

当且仅当a=b=c时，等号成立。

（2）推广到元的基本不等式为

若均为正实数，则

当且仅当时，等号成立。

二、 典型例题

基本不等式的直接应用

例1 若，则函数

A. 有最大值-4 B. 有最小值4 C. 有最大值-2 D. 有最小值2

解：，

当且仅当即时，函数取得最小值4. 答案：B

题型1 利用基本不等式判断命题真假

例2 下列不等式一定成立的是（ ）

A. B.

B. D.

解：选项A中，（当且仅当时，），故选项A不正确；

选项B中，（），，故选项B不正确；

选项C中，，故选项C正确；

选项D中，，则，故选项D不正确。 答案选C

解题方法：利用基本不等式判断命题真假时，要注意检查是否满足应用基本不等式的条件，在应用基本不等式后，应注意检验等号是否成立。

题型2 利用基本不等式求最值的常见题型及求解技巧

用基本不等式求函数的最值是高中数学的重点，也是近几年高考的一个热点，三个必要条件“一正、二定、三相等”更是相关考题“瞄准”的焦点。在具体的题目中，“正数”条件往往易从题设中获得，“相等”条件也易验证确定，而如何获得“定值”条件却常常被设计为一个难点，需要一定的灵活性和变形技巧。因此，“定值”条件决定了基本不等式应用的可行性，这是解题成败的关键。

常用的变形技巧有：

1. 拆——裂项拆项

裂项是指对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与真分式的和，再根据分式分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件。

例3 的最小值为 .

解：令y=，则

y=，

当且仅当，即时等号成立。

故的最小值为8.

注：第二种解法：令，则

=，

当且仅当即x=4时取等号。

2. 并——分组并项

分组并项的目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先部分应用基本不等式，部分与部分之间又可以应用基本不等式求出最值。

例4 若x y为正数，则的最小值为 .

解：=

=

=4

当且仅当，且，即时，原式取得最小值，最小值为4.

3. 配凑——配式子配系数，凑出定值

有时为了挖掘出积或和为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式子配系数的方法，使配好的代换式与待求值的式子相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值。

例5 已知，则的最大值为 .

解题思路：依据“和定积最大”，显然2x与5-2x的和为定值5，故应先变形再应用基本不等式。

解：，，，

［］，

当且仅当 即时等号成立，故的最大值为.

例6 已知实数x，y满足，，且，则的最小值为（ ）

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

解：，，且，，

当且仅当，，即，时等号成立。答案选D

例7 已知，其中，则y的最大值为 .

解题思路：此题探求和为定值是不行的，因为与的次数不相同，所以要先解决次数问题，再配系数。

解：，

［］

=，

当且仅当，即时，，

故.

4. 上述方法的综合应用

例8 若，则函数的最小值为 .

解题思路：思路一 本例并不能单纯去求的最小值，因为还有，必须把和综合起来求解才行。将变形为，然后把看作一个整体进行求解。

思路二 当遇到涉及分式的情形时，通分是最容易想到的方法，通分后=，利用基本不等式即可求解。

解：方法一 = ，

令，则

，

当且仅当即时等号成立。

方法二 ，

当且仅当=，即时等号成立。

例9 已知，则的最小值为 .

解题思路：要利用基本不等式求的最小值，注意到这里有两个变量，且不具备“和”或“积”为定值这一条件，因此只有先利用基本不等式“消元”，再利用基本不等式求其最值，其“消元”途径有：

一是注意到与的和为，因而利用基本不等式可得，于是可得.

二是由可得，于是有.

解：方法一 ，

，，

，

当且仅当且，即，时等号成立。

故的最小值为4.

方法二 ，

，

，

当且仅当且，即，时等号成立。

故的最小值为4.

题型3 基本不等式在证明问题与恒成立问题中的应用

1. 无附加条件的不等式证明

例10 已知，求证：.

解：，

，

当且仅当时，以上三个不等式的等号同时成立。

，

当且仅当时等号成立。

2. 有附加条件的不等式证明

例11 设均为正数，且，证明：（1）；（2）.

解：（1）由，得

，

（当且仅当时等号成立）.

，

（当且仅当时等号成立）.

.

3. 解恒成立问题

例12 设，不等式恒成立，则的最小值为 .

思路分析：由易得，要使此式恒成立，必须使大于或等于的最大值.在求的最大值时，可以将其平方，利用基本不等式求解。

解：显然.由题意知，不等式恒成立，则必须大于或等于的最大值。

，

当且仅当时，取等号。

故的最大值为，故，即的最小值是.

解题方法：

1. 利用基本不等式证明不等式恒成立问题的常用思想是：合理配式，恰当放缩，其关键仍然是凑、配、换。

2. 证明不等式可以顺证（从左到右），也可以逆证（从右到左），通常是从较复杂的一边往较简单的一边证明。

例13 记为两数中较大的数，当正数变化时，

｛｝的最小值为 .

解：方法一 由题意知，

又

（当且仅当时等号成立）

即.

故当正数变化时，｛｝的最小值为10.

方法二 由题意知

又（当且仅当时等号成立），

，即.

故当正数变化时，｛｝的最小值为10.

三、 分层训练

1. 若，，则的最大值为（ ）

A. 25 B. C. D.

2. 设正实数满足，则当取得最小值时，的最大值为（ ）

A. 0 B. C. 2 D.

3. 已知，且，则的最小值是 .

4. 已知均为正数，不全相等.求证：.