高中数学直线的倾斜角与斜率（高考数学必拿分数讲解）

高中数学直线的倾斜角与斜率（高考数学必拿分数讲解）2、过两点的直线的斜率公式：1、定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是90°的直线没有斜率．1、定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.2、倾斜角的范围为[0，π)．什么是直线的斜率？

一次函数是很多最早学习的函数知识内容之一，它的图像是一条直线，而学好一次函数，那么首先要掌握好一元一次方程、二元一次方程、二元一次方程组等相关知识内容。从某种意义上来说，直线方程的概念本质上是刻画直线与方程的一一对应的关系。

进入高中之后，数学教材继续安排直线相关知识内容学习，无论是知识的深度广度都在增加，一方面让学生感受学无止境的学习精神，进一步强化函数思想，学会运用数形结合等数学思想解决问题；另一方面这也是解析几何可以用方程(代数)研究直线(几何)的基础。

高中数学里面我们更多讲究直线方程的概念，这个比起一次函数去解释，显得更加抽象，对学生的思维能力进一步提出挑战，但也加强学生对思考问题的角度和方法的培养，这些都是数学综合素质的体现。

什么是直线的倾斜角？

1、定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.

2、倾斜角的范围为[0，π)．

什么是直线的斜率？

1、定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是90°的直线没有斜率．

2、过两点的直线的斜率公式：

经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝（y2-y1）/（x2-x1）=（y1-y2）（x1-x2）.

花点时间去记住这些概念都不难，但深刻去理解，如在求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在，每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率。

由斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性。用截距式写方程时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需要分类讨论。

典型例题分析1：

已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．

(1)证明：直线l过定点；

(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；

(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．

解：(1)证明：法一：直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1，

故无论k取何值，直线l总过定点(－2 1)．

法二：设直线过定点(x0，y0)，则kx0－y0＋1＋2k＝0对任意k∈R恒成立，即(x0＋2)k－y0＋1＝0恒成立，

∴x0＋2＝0，－y0＋1＝0，

解得x0＝－2，y0＝1，故直线l总过定点(－2 1)．

(2)直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，

要使直线l不经过第四象限，

解决直线方程的综合问题时，除灵活选择方程的形式外，还要注意题目中的隐含条件，若与最值或范围相关的问题可考虑构建目标函数进行转化求最值。

同时对直线方程的形式及适用条件要分的非常清楚：

1、点斜式

几何条件是过点(x0，y0)，斜率为k ；方程为y－y0＝k(x－x0) ；局限性是不含垂直于x轴的直线。

2、斜截式

几何条件是斜率为k，纵截距为b ；方程为y＝kx＋b；局限性是不含垂直于x轴的直线。

3、两点式

几何条件是过两点(x1，y1)，(x2，y2)，(x1≠x2，y1≠y2)；方程为（y-y1）/（y2-y1）=（x-x1）（x2-x1）；局限性是不包括垂直于坐标轴的直线。

4、截距式

几何条件是在x轴、y轴上的截距分别为a，b(a，b≠0)；方程为x/a y/b ＝1 不包括垂直于坐标轴和过原点的直线。

5、一般式

方程为Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0) 。

典型例题分析3：

过点P(3 0)作一直线，使它夹在两直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段AB恰被点P平分，求此直线的方程。

在求解与直线有关的相关问题过程中，一些学生常常会因考虑不周全而丢失分数，如对直线斜率与倾斜角之间的关系理解不够透彻妄下结论导致错误；求直线的倾斜角或斜率时不能准确地表达结果；如设直线方程为点斜式或斜截式而漏掉斜率不存在的情况。

求直线方程的方法主要有以下两种：

1、直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程；

2、待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线方程。

从几道例题，我们可以看出，要想正确解决直线相关的问题，那么就要正确求出倾斜角，如求倾斜角的取值范围的一般步骤：

1、求出斜率k＝tan α的取值范围；

2、利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围；

3、求倾斜角时要注意斜率是否存在。

通过对直线方程的概念、倾斜角概念、斜率定义及斜率公式四大主要知识的学习，我们不仅要扎实掌握好基本知识内容，更要通过知识的学习，让自身的思维能力得到锻炼。

典型例题分析4：

如图，射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1 0)作直线AB分别交OA、OB于A、B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝1/2x上时，求直线AB的方程．

解决直线相关问题，我们很多时候要借助坐标系，这就相当于要熟练运用数形结合思想去解决问题，对函数的图象和性质要熟记于心。