高中数学函数与方程思想的应用（函数与方程思想之）

高中数学函数与方程思想的应用（函数与方程思想之）1、代数判别式法（△ 法）其来源是二次函数 y = x^2 和三角函数 y = sinx 的值域 。 把问题中的量分为已知量和未知量，并把这些量用字母表示；将问题中的条件，量与量之间的关系列为方程或不等式；通过解方程、不等式，或利用方程、不等式的性质，使问题获得解决。二、判别式法代数判别式 （△ 法）和 三角判别法 （δ 法），它们是二次方程 ax^2 bx c = 0 和三角方程 asinx bcosx = c 的根的判别定理。

一、函数与方程思想：

1、函数思想：

把问题中的量分为变量和常量，并把这些量用字母表示；将量与量之间的关系，抽象、概括为函数模型；用运动、变化和对应的观点，通过对函数模型的研究，利用函数的性质，使问题获得解决。

2、方程思想：

把问题中的量分为已知量和未知量，并把这些量用字母表示；将问题中的条件，量与量之间的关系列为方程或不等式；通过解方程、不等式，或利用方程、不等式的性质，使问题获得解决。

二、判别式法

代数判别式 （△ 法）和 三角判别法 （δ 法），它们是二次方程 ax^2 bx c = 0 和三角方程 asinx bcosx = c 的根的判别定理。

其来源是二次函数 y = x^2 和三角函数 y = sinx 的值域 。

1、代数判别式法（△ 法）

设 f（x）= ax^2 bx c （a ≠ 0），则 △ = b^2 - 4ac 叫做二次方程 f（x）= 0 或二次函数 f（x）的判别式。

判别定理：实系数二次方程 ax^2 bx c = 0（a ≠ 0）根的情况分类如下：

例题3图（1）

的值域 。

解 ：原式 等价于 y ( x^2 x 1 ) = x^2 - x 1 ;

等价于 ( y - 1 ) x^2 ( y 1 ) x y - 1 = 0 ① ;

当 y ≠ 1 时 ， △x = (y 1 ) ^2 - 4( y - 1 ) ^2 ≥ 0 解得 1/3 ≤ y ≤ 3 ( y ≠ 1) 。

当 y = 1 时 ， 方程 ① 化为 2x = 0 即 x = 0 故有 y = 1 。

综上，函数的值域为 【1/3 3】。

例题4、求函数

例题4图（1）

的值域 。

解：原式等价于 y ( 1 - cosx） = sinx - 4cosx

将上式化为关于 sinx cosx 的三角方程 ：

sinx (y - 4 ) cosx = y

δx = 1^2 (y - 4 )^2 - y^2 ≥ 0 ;

等价于 17 - 8y ≥ 0

解得函数 y 的值域 ：（- ∞ ， 17/8 ] 。

例题5、求双曲线

例题5图（1）

经过点 （-3 2）的切线方程 。

解题思路：

把双曲线的参数方程代入切线的普通方程，构造三角方程，用三角判别法 。

解：设所求切线方程为 y - 2 = k ( x 3 ) ①

双曲线的参数方程是

例题5图（2）

把 ② 代入 ① 得 ：

3 tanθ - 2 = k ( 4 secθ 3 ) ;

整理，得 3 sinθ - ( 2 3k ) cosθ = 4k ③ ;

由相切 等价于 δ = 0 ， 即

3^2 ( 2 3k )^2 - (4k)^2 = 0

解得 k = 1/7 ( 6 ± √127 ) ，

代入 ① ， 故所求切线方程为 ：

y - 2 = 1/7 ( 6 ± √127 ) ( x 3 )

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