数形结合解题初中数学方法和技巧(猜证结合思想之)
数形结合解题初中数学方法和技巧(猜证结合思想之)二、数学归纳法概述2、证明推理 —— 由一般到特殊的推理,叫做演绎推理,这是必然性的推理,我们把演绎推理也叫做证明推理。人的基本认识过程有两个:一是由特殊到一般;一是由一般到特殊。我们按照这两个基本认识过程,将推理分为两种:1、似真推理 —— 由特殊到一般,这种推理也叫做归纳推理,这是创造性的逻辑推理。“由特殊到特殊”或“由一般到一般”的推理,叫做类比推理。其认识过程仍包含于“由特殊到一般”这个基本认识过程之中,并且所推出的结论也是似真的,所以类比推理也是似真推理。
一、猜证结合思想概述
解题的核心是逻辑推理,因此我们要着力研究:怎样进行逻辑推理。
在数学上“逻辑”通常是指“思维的规律”,它不仅包括形式逻辑推理,而且包括辩证逻辑推理以及各种非形式化的逻辑推理,如形象思维、直觉思维等等。因此我们要尽力引入运动和辩证的方法,全面而深刻的学会推理。
解题是人类特别富有的智力活动,它必须遵循人类认识运动的规律。
人的基本认识过程有两个:一是由特殊到一般;一是由一般到特殊。我们按照这两个基本认识过程,将推理分为两种:
1、似真推理 —— 由特殊到一般,这种推理也叫做归纳推理,这是创造性的逻辑推理。
“由特殊到特殊”或“由一般到一般”的推理,叫做类比推理。其认识过程仍包含于“由特殊到一般”这个基本认识过程之中,并且所推出的结论也是似真的,所以类比推理也是似真推理。
2、证明推理 —— 由一般到特殊的推理,叫做演绎推理,这是必然性的推理,我们把演绎推理也叫做证明推理。
二、数学归纳法概述
“数学归纳法”是证明与正整数有关的命题的一种方法,它的理论依据是数学归纳原理:
设 P(n)是关于正整数 n 的一个命题,如果:(1)P(1)真 ;(2)由P(k)为真的假设可推出 P(k 1)也为真,那么 P(n)对一切正整数 n 为真 。
数学归纳法是人们以有限把握无限,通过有限次操作证明无限集合的命题。它第一次提供了证明无限集合的命题的一种确切而严谨的教学方法,这个方法是完全归纳法。
数学归纳法证明命题 P(n)(n ∈ N 且 n ≥ n0)成立的一般步骤
(1)证明 P(n0)成立 ;
(2)假设 P(k)(k ∈ N 且 k ≥ n0)成立 ,证明 P(k 1)也成立 。
根据 (1)和 (2),可知 P(n)对一切正整数 n (n ≥ n0)都成立 。
例题:求证:
例题图(1)
猜证:这是 P(n)命题,用数学归纳法证明 。
第一步:当 n = 1 时 , 1 < 2 显然成立 ;
第二步:假设 当 n = k 时 (k > 1)
例题图(2)
则 当 n = k 1 时 ,
例题图(3)
例题图(4)
因此数学归纳法失效!若还想用数学归纳法证明,就得变换命题,使不等式的右边与 n 有关 。
经过几次试验猜想,改证如下:
辅助不等式图(5)
证法一:先用数学归纳法证明上图中的辅助不等式:
(1)当 n = 2 时 , 左边 = 1 1/(2^2)= 5/4 ,右边 = 2 - (1/2)= 3/2 ,
所以左边 < 右边 , 上图中的辅助不等式成立 。
(2)假设 n = k (k ≥ 2)时
例题图(6)
则 当 n = k 1 时
例题图(7)
即上图中的辅助不等式也成立。
由 (1)和 (2),可知上图中的辅助不等式成立 。
又因为 2 - 1/n < 2 且 当 n = 1 时原不等式为 1 < 2 显然成立,所以
例题图(8)
得证 。
注:P(n)命题不一定都必须用数学归纳法证明,给出证法二——列项相消放缩法!
证法二、列项相消放缩法
例题图(9)
注:(1)当数学归纳法失效时,可引进辅助命题,再用数学归纳法;
(2)本题不宜使用数学归纳法,用列项法最为简捷。
解题时注意依据问题的特点,选择最快最好的方法。
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