高中数学抛物线及其标准方程例题（几种优化抛物线运算的方法）

高中数学抛物线及其标准方程例题（几种优化抛物线运算的方法）二、点差法为定值。解析：设B，C，则，，，。由题意，得，，则。故

在解析几何中，解题方法是否得当，常常导致解题的难易、繁简程度的悬殊差异。因此在平时解题时要探求优化运算的方法和技巧，降低运算量，提高解题能力。下面介绍几种优化抛物线运算的方法。

一、设而不求的整体处理

在求抛物线方程时，常会遇到两曲线的交点及相关点的问题，若设而不求，整体处理，可简捷求解。

例1 过抛物线上一点A（4，2），作倾斜角互补的两条直线AB、AC交抛物线于B、C两点，求证：直线BC的斜率为定值。

解析：设B，C，则

，

，

，

。

由题意，得

，

，则

。

故

为定值。

二、点差法

在抛物线中，直线与抛物线相交弦的中点问题是个重点，也是高考热点。其解法多种多样，点差法是简捷而巧妙的解题方法之一。

例2 给定抛物线，过点B（2，4）能否作直线l，使l与抛物线交于两点

，且点B是线段

的中点？这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由。

解析：设

，

，代入抛物线方程得。两式相减并分解因式，得：

∵B（2，4）是的中点，

，代入上式得，即

。

若直线l存在，则方程为

，即

。

将代入抛物线方程得，

。

因为其判别式△<0，故此直线与抛物线不相交，这样的直线不存在。

三、巧用韦达定理

抛物线中涉及到弦长、弦中点、曲线与直线交点以及原点为垂足的垂直问题，运用韦达定理可避免求交点坐标，从而简化解题过程。

例3 直线l：

交抛物线

于A、B两点，当△AOB（O为原点）的面积为2时，求实数k的值。

分析：因直线l与y轴的交点为M（0，1），而△AOB的面积等于△AOM和△BOM的面积之和，若△AOM和△BOM都以OM为底边，这样△AOB面积就与A、B两点的坐标相联系。

解析：设A，B，则

即

把代入中得，

。因此，

。代入上式得

，解得

。

四、常数代换，化成齐次方程

抛物线弦的两端点与原点连线的斜率问题，具有一定的难度和深度，若用常规方法解决，运算量大，过程复杂，但化为齐次方程，过程简洁。

例4 抛物线

与过点M（0，－1）的直线l相交于A、B两点，O为坐标原点，若直线OA与OB的斜率之和为1，求直线l的方程。

分析：用常规方法去解，相当麻烦。但若把直线方程设出来，用含有x、y的式子来表示常数项，代入到抛物线方程中，可得一个关于x、y的齐次方程，运用韦达定理即可解决问题。

解析：设直线l的方程为

，即

，代换抛物线方程

中的系数1，得

，整理得关于x，y的齐次方程

。方程两边同时除以

，得

，显然

是该方程的两根。

由条件

可知，

。故直线l的方程是

。

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