高中数学判别式法的解题方法（判别式法的应用）

高中数学判别式法的解题方法（判别式法的应用）例2、已知，且，试求实数a、b为何值时，ab取得最大值。二、求最值解：将原函数变形得，把此方程看作关于x的一元二次方程，该方程一定有解，利用方程有解的条件求得y的取值范围，即为原函数的值域。当时，（说明函数值可以为0）。当时，令，解得故原函数的值域为

“判别式法”是我们解题时常用的方法，在解题中常常用到，掌握它很有必要，下面举例说明它的作用。

一、求函数的值域

例1、求函数

的值域。

解：将原函数变形得

，把此方程看作关于x的一元二次方程，该方程一定有解，利用方程有解的条件求得y的取值范围，即为原函数的值域。

当

时，

（说明函数值可以为0）。

当

时，令

，解得

故原函数的值域为

二、求最值

例2、已知

，且

，试求实数a、b为何值时，ab取得最大值。

解：构造关于a的二次方程，应用“判别式法”。设

（1）

由已知得

（2）

由（1）（2）消去

，对a整理得

（3）

对于（3），由

，解得

或

。由

，舍去，得。

把

代入（3）（注意此时

），得

，即

从而

。

故当

时，

取得最大值为18。

三、证明不等式

在物理追击问题中经常用到。

例3、已知

。证明：

恒成立。

解：不等式变形为

将不等式左边看作关于y的二次函数，令

。由

，从而有：

，即

。

对于二次函数

，图象开口向上，且在x轴上方，所以

恒成立，即恒成立。

四、求参数的取值范围

例4、对于函数，若存在

，使

成立，则称

为的不动点。已知函数

，对于任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求a的取值范围。

解：对任意实数b，恒有两个相异的不动点对任意实数

恒有两个不等实根对任意实数b，

恒有两个不等实根对任意实数

恒成立。

可以将

看作关于b的二次函数，则对任意实数

恒成立

故

的取值范围是

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