2022高考数学试卷哪些题难？2022高考数学处处是陷阱

2022高考数学试卷哪些题难？2022高考数学处处是陷阱四棱锥的底面ABCD的对角线BD的一半BM在直角三角形PBM中，运用勾股定理，可求得：BM=根号(l^2-h^2)=3根号3/2. 则BD=2BM=3根号3.当l=3时，上图中的三角形OPB是等腰三角形，底边OP上“三线合一”，BM既是OP的高，也是中线，所以四棱锥的高h=PM=OP/2=R/2=3/2.学霸则极有可能追求解题的速度，直接拿l=3时去求最小值，这是没错的，然而直接拿l=3根号3去求最大值时，就又中了出题人的圈套了，所以说，连学霸都很难逃脱这道题的陷阱。分析：这道题除非有超好的空间想象能力，否则还是要画一下草图，帮忙理解的。不过图也基本上没有办法画得准确的。首先，可求得球体的半径R=3，因为根据球体的体积公式，可列得关于R的方程：4πR^3/3=36π.

2022年高考数学全国卷I的选择压轴题，是一道考验空间想象能力的立体几何问题。而且这道题是有陷阱的，而且分别为学霸和学渣都准备好了陷阱，恐怕有不少考生会陷进去哦。我们先来看题：

已知正四棱锥的侧棱长为l 其各项点都在同一球面上，若该球的体积为36π，且3≤l≤3根号3 该正四棱锥体积的取值范围是( )

A. [18 81/4] ，B. [27/4 81/4]， C. [27/4 64/3]， D. [18 27]

这么难的问题，有很多考生就会开始“蒙题大法”了。特别是那些学渣，反正正常求解也不会。学渣蒙选择题，是通过观察四个选项。发现AB选项的最大值都是81/4，而最小值则都有两个选项相同，所以学渣极有可能就会排除CD选项。殊不知，这一排除就踩进了出题人给我们这些学渣们设计的陷阱了。

学霸则极有可能追求解题的速度，直接拿l=3时去求最小值，这是没错的，然而直接拿l=3根号3去求最大值时，就又中了出题人的圈套了，所以说，连学霸都很难逃脱这道题的陷阱。

分析：这道题除非有超好的空间想象能力，否则还是要画一下草图，帮忙理解的。不过图也基本上没有办法画得准确的。

首先，可求得球体的半径R=3，因为根据球体的体积公式，可列得关于R的方程：4πR^3/3=36π.

当l=3时，上图中的三角形OPB是等腰三角形，底边OP上“三线合一”，BM既是OP的高，也是中线，所以四棱锥的高h=PM=OP/2=R/2=3/2.

四棱锥的底面ABCD的对角线BD的一半BM在直角三角形PBM中，运用勾股定理，可求得：BM=根号(l^2-h^2)=3根号3/2. 则BD=2BM=3根号3.

由正方形ABCD的面积公式，S底=BD*AC/2=27/2. 因此此时四棱锥的体积为：V=S底h/3=27/4.

可以知道答案在BC之中，排除AD。似乎一切和学渣们料想的一样。而学霸此时则大概率会求l=3倍根号3时的四棱锥的体积。老黄就模拟求一求吧。这时，把立体图形中的一个面取出来，如下：

原本M点也可能在线段OP上，但经过老黄计算，发现这个时候，M点应该是在PO的延长线上的。

我们可以设OM=x，则BM^2=OB^2-x^2=l^2-(OP x)^2=BM^2，即9-x^2=27-(3 x)^2，解得x=3/2. 如果以M点在线段OP上列式，则求得x=-3/2. 把OM看作一个矢量，两种情形是可以统一起来的。这为后面列V关于l的函数提供了方便。

现在由BM=根号(OB^2-x^2)=3根号3/2，就可以得到底面对角线长仍为3根号3，和上面的情形一样。再由h=根号(l^2-BM^2)=9/2，得到四棱锥的高。

并求得当l=3根号3时，V=81/4. 莫非被学渣蒙中了吗？先别那么快下结论。因为这个结论必须建立在V关于l的函数在3≤l≤3根号3上单调递增才成立。因此真正合理的解法是，求V关于l的函数，并判断这个函数的单调区间。它是建立在下图这个平面上的。

虽然点M可能在PO的延长线上，但我们按这个模型去求BM，都是行得通的，上面已经分析过了。

仍设OM=x，就有9-x^2=l^2-(3-x)^2 解得：x=3-l^2/6. 当M在PO的延长线上时，解得x=l^2/6-3.

从而BM=根号(9-x^2)=l根号(36-l^2)/6.

h=根号(l^2-l^2 l^4/36)=l^2/6.

从而得到V关于l的函数：V=l^2(l根号(36-l^2))^2/36=(4l^4-l^6/9)/36.

求导得：V'=(16l^3-l^5/3)/36=l^3(16-2l^2/3)/36.

当l>0(这是一定的)且16-l^2/3>=0时，V单调增. 并解得0<l<=根号24.

因此，V的确在l=3取得最小值，但在l=根号24取得最大值。并且求得这个最大值为：V=64/3. 所以正确的答案应该选C.

题目其实还是挺难的。不过对于一直在刷题强化的高中考生来说，应该还是能够解决的。虽然前面走了一些弯路，但那也不是完全没用的，在走弯路的过程中，就把图形中各个量的关系给理清了。您怎么看呢？