初二数学中垂线求角：初中数学一线三等角

初二数学中垂线求角：初中数学一线三等角1.、必相似模型性质总结由∠1=∠2=∠3，可以很容易得到：∠ACE=∠CFB，∠AEC=∠FCB进而有△AEC∽△BCF，如果再添加一组对应边相等，如CE=CF，或者是AE=BC，那么就有△AEC≌△BCF.

模型定义

顾名思义，一线三等角是指三个相等的角的顶点在同一条直线上。

如图，∠1=∠2=∠3，且它们的顶点在直线AB上，这就是一个一线三等角模型。

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模型性质探究

由∠1=∠2=∠3，可以很容易得到：

∠ACE=∠CFB，∠AEC=∠FCB

进而有△AEC∽△BCF，如果再添加一组对应边相等，如CE=CF，或者是AE=BC，那么就有△AEC≌△BCF.

模型性质总结

1.、必相似

2、当有一组对应边相等必全等

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常见命题背景

1. 正方形ABCD，有一个直角的顶点在边AB上

2.等边三角形ABC，有一个60°角的顶点在边AB上

3.等腰直角三角形ABC，有一个45°角的顶点在边AB上

4.一线三直角

① ∠ACB＝90°，AD⊥CE，BE⊥CE

②AD⊥AC，EC⊥AC，DC⊥EC

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典型例题

(1) 如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD＋CE．

【解析】

∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°，∵∠BAD＋∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD，又∵AB＝AC，∴△ADB≌△CEA，∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE＋AD＝ BD＋CE；

(2) 如图，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝a，其中a为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD＋CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．

【解析】

（2）∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA＋∠BAD＝∠BAD＋∠CAE＝180°—α，

∴∠DBA＝∠CAE，∵∠BDA＝∠AEC＝α，AB＝AC，∴△ADB≌△CEA，∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE；

(3) 拓展与应用：如图，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状．

【解析】

（3）易知，△ADB≌△CEA，BD＝AE，∠DBA＝∠CAE，∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF＝∠CAF＝60°，∴∠DBA＋∠ABF＝∠CAE＋∠CAF，∴∠DBF＝∠FAE，∵BF＝AF，∴△DBF≌△EAF（如下图所示）

∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，∴∠DFE＝∠DFA＋∠AFE＝∠DFA＋∠BFD＝60°，∴△DEF为等边三角形．

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方法提炼

① 若题目中有一线三等角，可以直接证明相似或全等实现边与角的转化；

② 若题目中没有给出一线三等角，可以根据需要来构造。