为什么不直接学微积分呢（大学里学的那个微积分）

为什么不直接学微积分呢（大学里学的那个微积分）[2] Calculus early transcendentals 7ed James Stewart Brook/COLE[1] Calculus early transcendentals 11ed Howard Anton Irl Bivens Stephen Davis JOHN WILEY & SONS INC而对于数学专业的学生而言，勒贝格积分是必学的内容。因为在数学研究中，数学家所说的积分，通常默认指的就是勒贝格积分，这是由勒贝格积分相较于黎曼积分的优越性而决定的。当然，积分理论到此为止了吗？远远没有。随着数学理论的不大发展，数学家们又发现了更多的积分类型，比如概率论中的黎曼-斯蒂尔斯积分(Riemann-Stieltjes integral)等等，在微分几何和拓扑学中还有更多更复杂的积分形式。数学中有着太多的奥秘，等着我们去探索、去发现。参考文献

只有数才有绝对值吗？

勒贝格可积函数是黎曼可积函数的完备化，大致的意思是说，函数本身具有范数，函数与函数也可以相加相减相乘相除，因此由函数组成的集合也是具有一定的内在结构的。

而把所有黎曼可积的函数拿出来做成一个集合，这个集合的内在结构是残破的。但如果把勒贝格可积的函数也放进来，正好就把这个破口堵上了，结构就是非常完备的。这个结论也深刻揭示了勒贝格积分与黎曼积分的内在联系。

对于非数学专业的学生，比如工科，经济学，管理学等等，学习高等数学里的黎曼积分就够了。这是因为在自然科学领域和经济学领域，我们碰到的函数基本都是连续函数，碰不到像狄利克雷函数那种病态函数，所以黎曼积分理论就完全足够了。

而对于数学专业的学生而言，勒贝格积分是必学的内容。因为在数学研究中，数学家所说的积分，通常默认指的就是勒贝格积分，这是由勒贝格积分相较于黎曼积分的优越性而决定的。

当然，积分理论到此为止了吗？远远没有。随着数学理论的不大发展，数学家们又发现了更多的积分类型，比如概率论中的黎曼-斯蒂尔斯积分(Riemann-Stieltjes integral)等等，在微分几何和拓扑学中还有更多更复杂的积分形式。数学中有着太多的奥秘，等着我们去探索、去发现。

参考文献

[1] Calculus early transcendentals 11ed Howard Anton Irl Bivens Stephen Davis JOHN WILEY & SONS INC

[2] Calculus early transcendentals 7ed James Stewart Brook/COLE

[3] 实变函数与泛函分析基础(第二版），程其襄，张奠宙，北京，高等教育出版社

[4] 实变函数论(第二版)，周民强，北京，北京大学出版社

[5] 《数学分析》华东师范大学数学系，第四版，北京，高等教育出版社

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