三角形中位线的性质和证明方法：三角形的五心是三线共点的产物

三角形中位线的性质和证明方法：三角形的五心是三线共点的产物交点与第三线上某两点共线交点与第三线上某点的连线重合于第三线（这也是苏联的一道赛题 因为在上一篇例1中已证这三线都过内心 故实质上证出了六线共点。）反之 共点线又常常化为共线点 所以 它们在几何中犹如一对孪生的姊妹 事实上 它俩在射影几何中 正是互为对偶的图形。（1）证其中二线的交点在第三直线上 这又有两种等价形式：

共点线的证法

1、意义

共点线在初等几何中 很常见 因为体现三角形重要属性的五心——重心、垂心、外心、内心和旁心 全是三线共点的产物。由此可见:共点线是反映图形特性的一种重要方式。另一方面 许多共线点 摇身一变就是共点线 例如 上一篇文章中最初的例1 实际上也就证明了如下一个共线点。

T1和T2是内接于同一圆的两个三角形 同时T1的顶点恰是T2各顶分成的三段弧之中点。

求证T1与T2所围成的六边形中 三双对顶的连线共点。

（这也是苏联的一道赛题 因为在上一篇例1中已证这三线都过内心 故实质上证出了六线共点。）

反之 共点线又常常化为共线点 所以 它们在几何中犹如一对孪生的姊妹 事实上 它俩在射影几何中 正是互为对偶的图形。

2、基本思路

（1）证其中二线的交点在第三直线上 这又有两种等价形式：

交点与第三线上某点的连线重合于第三线

交点与第三线上某两点共线

（2）证明各线都过某个定点

（3）归结为已知的共点线 例如垂心可化为外心

（4）利用判定共点线的有力工具-西瓦(Ceva)准则

2、证法举例

例1、已知直径为AB的半圆和半圆周上另一点X 设tA、tB和tX分别是此圆在A、B、X处的切线 设Y和Z分别为两对直线tB、AX和tA、BX的交点（如图1）。

求证：三直线YZ、tx、AB共点或平行。

图1

分析：题中相切、平行和垂直(直径所对圆周角)都是很好利用的条件。

证法1：证交点在第三线上(1)

首先，容易看出:当YZ∥AB时 ABYZ为矩形 相应的 X为半圆弧的中点 故tX∥AB 即这时三线平行。

若 YZ不平行 AB 设它们的交点为W 而tX与tA、tB的交点顺次U、V 则有B

证法2证交点在第3线上(2)

假定W是tx与AB的交点 再证它在YZ上 因与上类似 故不再重复。

本例亦可用下面的西瓦准则证明

4。一个有力的工具—西瓦(Gera)准则

在前面 我们曾介绍了判定共线的一个非常有效的工具——梅氏准则。这段又称共点线与共线点 犹如一对姊妹 按此理度之 在共点线中也该有一个类似的得力工具 事实也正是这样 即有

(1)西瓦准则

准则:在△ABC中 设X、Y、Z依次在三边BC、CA、AB或446·其延长线上 则AX、BY和CZ共点或平行的充要条件是

（2）应用举例

对三角形的五心 皆可用西瓦准则证之。其中 内、旁、重、诸心与之相应的三线 分原三角形各边之边比皆为已知 故就原三角形运用西瓦准则 皆可轻易证之。至于外心 因它所共之三线不是发自三角形的顶点 故还需转化成垂心 敌以它为例 说明如何运用西瓦准则 较有启发作用。

例2、三角形的三条中垂线交于一点。

图2

证明：设D。E。F依次为AABC各边之中点（如图2所示），连结DE、EF、FD 再设△ABC各边的中垂线与△DEF相应(平行)之边的交点分别为X、Y、Z 则有

注1：△ABC的外心 实为△DEF的垂心 故本例实际上也用西瓦定理证了三垂线共点。

注2：对于外心 用中垂线的等距性极易证之 这里仅借以说明西瓦准则应用的广泛性。

除了共点线，西瓦定理(心要性)还可以用来证线段相等比例、平行行等问题。试着下题。

已知在四边那ABCD中 两组对边延长后的交点为E、F EF//BD，延长AC交EF于G。求证：EG=GF.

说明： 这是1978年全国数学竞赛第二试的第1题、当年公布的答案是巧妙的引了一条平行线EH// BF 如图3 然后证出CEHF是平行四边形，从而使问题得证。

图3

现用西瓦定理 则不引等助线即可证之如下

多么简捷!不但如此 其逆命题(EG =GF =＞ BD// EF)亦可由西瓦定理证明。

在例1中 仍设W是YZ与AB的交点 则就△AWZ应用西瓦定理 不难证明。