高中数学函数求值域问题解题技巧:必备技能高中数学
高中数学函数求值域问题解题技巧:必备技能高中数学a) 求常见函数定义域时应考虑的问题(高中阶段)3) 一般方法:2. 解决问题的一般方法1) 原则:只要遇到函数,就先确定其定义域的状况。2) 易错点:有关定义域(特别是隐式)的限制或细节(边界)往往是易错点。务必养成细心和确认定义域的意识和习惯,否则一不小心就掉“坑”里了。
1. 基本问题说明
“求函数定义域”是最广泛使用的基础应用(没有之一,每次考试都必定会涉及),因为一般每个函数都要先明确的定义域。
但是在大考中,该基础应用一般不会显式、独立地出题(即一般不会出只求定义域的题),往往会在题目中作为限制条件、考查细节(特别是常见的易错点)。
因此,求解问题前,能否正确地明确或求出定义域是正确解题的必要条件。
2. 解决问题的一般方法
1) 原则:只要遇到函数,就先确定其定义域的状况。
2) 易错点:有关定义域(特别是隐式)的限制或细节(边界)往往是易错点。务必养成细心和确认定义域的意识和习惯,否则一不小心就掉“坑”里了。
3) 一般方法:
a) 求常见函数定义域时应考虑的问题(高中阶段)
b) 求复合函数定义域时应考虑的问题
① 已知f(x)的定义域,求解f(φ(x))的定义域
f(x)的定义域是D,f(φ(x))的定义域就是使得φ(x)∈D的所有x的集合
② 已知f(φ(x))的定义域,求解f(x)的定义域
f(φ(x))的定义域是D,f(x)的定义域就是 在D上的值域
③ 已知f[g(x)]定义域为C 求f[h(x)]的定义域
实质是已知x的范围为C 以此先求出g(x)的范围(即f(x)的定义域);然后将其作为h(x)的范围 以此再求出x的范围.
c) 求解一般方法:根据上述约束和/或限制,可列出不等式组,然后再求解。
3. 典型示例
例1、求下列函数的定义域
(1) y=√(2x-x^2 )
(2) y=1/√(|x|-x)
(3) y=1/√(1-x) (x 1) ^0
解:(1)依题意可得:
2x-x2≥0,
解得:0≤x≤2,
所以函数的定义域为{x|0≤x≤2}。
(2)依题意可得:
|x|-x>0,
解得:x<0,
所以函数的定义域为{x|x<0}。
(3)依题意可得:
1-x>0 且 x 1≠0,
解得:x<1且x≠-1,
所以函数的定义域为{x|x<1且x≠-1}。
例2设函数f(x)的定义域为[0 1],则函数f(x^2)的定义域为___;函数f(√x-2)的定义域为___。
解:f(x)的定义域为[0 1] 即:
0≤x≤1,
函数f(x^2)的定义域为:
0≤x^2≤1,
x的取值为 [-1 1],所以函数f(x^2)的定义域为[-1 1],
函数f(√x-2)的定义域为 :
0≤√x-2≤1,
x的取值为 [4 9],所以函数f(√x-2)的定义域为[4 9]。
例3已知函数f(x)的定义域为 [1 1],且函数F(x)=f(x m)-f(x-m)的定义域存在,求实数m的取值范围。
解:由题意,可得:
-1≤x-m≤1且-1≤x m≤1,
解得:
m-1≤x≤1 m (1)
且 -1-m≤x≤1-m (2),
当m=0时,-1≤x≤1,m=0满足题意
当m>0时,为了定义域存在,以上(1),(2)两式必须有交集,即:
m-1≤1-m 且m>0, 得0<m≤1
当m<0时,同理要满足:
-1-m≤1 m 且m<0, 得-1≤m<0
综上可知,所求m的取值范围为:-1 ≤ m ≤ 1。
讲解:
① 正确理解并掌握复合函数定义域求法;
② 当出现参数时,要分类讨论。
例4 某工厂统计资料显示,产品次品率p与日产量x(件) (x∈N 1≤x<99)的关系符合如下规律:
又知每生产一件正品盈利100元,每生产一件次品损失100元。求该厂日盈利额T(元)关于日产量x(件)的函数?
解:由题意:当日产量为x件时,次品率为:
P = 2/(100-x),
则次品个数为:
2x/(100-x),
正品个数为:
x- 2x/(100-x),
所以
T=100×[x-2x/(100-x)]-100×2x/(100-x),
即
T=100[x-4x/(100-x)],(x∈N,且1≦x≦89)。
讲解:
① 函数实际应用中,函数的定义域要根据实际情况来求解;
② 要注意实际应用中实际意义及其可能约束,如猪的头数是整数、边长的长度是正数等。
例5若函数f(x)=log2^(mx^2 mx 1)的定义域为R,则m的取值范围是______.
解:∵函数f(x)=log2^(mx2 mx 1)的定义域为R,
(提示:定义域的逆向应用)
∴mx^2 mx 1>0在R上恒成立,
(1)当m=0时,有1>0在R上恒成立,故符合条件;
(2)当m≠0时,有:
m>0,
且 =m^2-4m<0,
解得:0<m<4,
综上,实数m的取值范围是[0,4)。
例6已知实数a≠0,x<1时,函数f(x)=2x a;x≥1时,函数f(x)=-x-2a。若f(1-a)=f(1 a),则a的值为______。
解:当a>0时,1-a<1,1 a>1,
∴ 2(1-a) a = -1-a-2a,解得a=-3/2 < 0,舍去。
当a<0时,1-a>1,1 a<1,
∴ -1 a-2a = 2 2a a,解得a=-3/4,
故所求a的值为-3/4。
讲解:
① 提示:本题为定义域的逆向应用
② 一般要求:快捷、准确地理解函数表达式及其特征和意义。
③ 两个提示
a) 这里是分段函数,而分段函数在分段点附近需要多留意;
b) 有参数时,要进行分类讨论。
④ 思考:为何a的讨论是以0作为分界点呢?