高中数学重点难点讲解蒋老师，如何学好并考好高中数学

高中数学重点难点讲解蒋老师，如何学好并考好高中数学（2）用现代的高等数学观念全面地考察所欲解的初等数学问题的来龙去脉，居高临下，从整体上把握这个问题；（1）寻求初等的、简单的、美妙的解答；一类数学问题，不仅问题本身浅显易懂，而且其解法也是初等的，即中学生能理解的。另一类数学问题是中学生只知道其内容，但解法大大超出他们的能力范围的。如费尔马猜想。虽然问题的形式极其简单，但其解法难以理解，这个猜想经过人们长达数百年的努力，于1993年才被英国数学家Wilson解决。解决一个高中数学问题，一般可以作如下考虑：

如何学好并考好高中数学？

文/刘蒋巍

一．如何学好高中数学——高中数学问题及解决

高中数学问题，是指中学生可以读懂的问题。大致上分为两类：

一类数学问题，不仅问题本身浅显易懂，而且其解法也是初等的，即中学生能理解的。

另一类数学问题是中学生只知道其内容，但解法大大超出他们的能力范围的。如费尔马猜想。虽然问题的形式极其简单，但其解法难以理解，这个猜想经过人们长达数百年的努力，于1993年才被英国数学家Wilson解决。

解决一个高中数学问题，一般可以作如下考虑：

（1）寻求初等的、简单的、美妙的解答；

（2）用现代的高等数学观念全面地考察所欲解的初等数学问题的来龙去脉，居高临下，从整体上把握这个问题；

（3）引申、拓展这个高中数学问题。

在解决高中数学问题的过程中，充分体现了一般的科学方法，如观察、联想、归纳、类比等，它们引导着我们去探讨问题的解法及问题的变化形式。

高中数学问题及其解决构成了高中数学的核心“板块”，它是我们研究的主要内容。从某种意义上讲，解决高中数学问题是高中数学研究的主要内容。

最后，我们来简要地认识解题。

对于“解题过程”通常有两种理解，一种是狭义的，一种是广义的。

狭义的理解是指“求得所遇到的或所给的数学问题的结果”，即“尝试→求解→得结果”的过程；

广义的理解是不仅包括“尝试→求解→得结果”的过程，还要包括总结，也就是“尝试→求解→得结果→总结”的过程。其中“总结”是解决数学问题中最重要的一环，把握这一环的优与劣，从根本上决定了一个人解题能力的强弱。

从“生长观”的层面上认识解题中的“总结”，它包含如下几个方面的内容：

（1）结果正确与否，符合实际吗？

（2）这个问题还有其他解法吗？哪种解法简单？

（3）引申与推广：这个问题的一般性问题是怎样的？是否存在解决一般性问题的解法？

（4）整理与完善自己的认知结构，丰富生长数学学习的途径，养成并保持优良的数学学习习惯，等等.

二．如何考好高中数学——综合题求解中的“优先思维”策略

众所周知，数学综合题是最具区分度的一类试题，通常有多种解法，但在求解过程中能否快速选择较为简洁的解法并非易事，它需要解题者拥有良好的知识结构，丰富的解题经验和洞察题目本质的能力。根据笔者近年来的解题实践，发现解题的初始阶段，哪些已知条件必须优先使用，哪些解题方法应该优先考虑，对解题者来说十分重要，它不仅保证了解题者的思维起点的合理性，也优化了解题的过程。下面看看数学综合题求解时的六种常用的优先思维策略。

策略1：使用定义优先

数学定义是数学概念学习的核心内容，是其他相关知识的基石，解题时若能重视定义的使用，甚至优先考虑定义的使用，可轻车熟路，快速求解。

案例一 F1，F2为椭圆的两个焦点，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，PF1垂直于PQ且｜PF1｜＝｜PQ｜。求椭圆的离心率。

分析 这是一道常见的直线与圆锥曲线的相关问题，若选择焦点弦长及距离相等来解题，很快陷入繁难的演算而止步。然而若能优先使用圆锥曲线定义就十分简便，下面给出略解。

案例二 设数列｛an｝满足x1＝1，xn＋1＝3xn＋［根号5*xn］，［x］为不超过实数x的最大整数。证明：对任意正整数n，2^n｜xn＋2。

分析 本题乍看，无从入手，但注意到［x］的定义，将其呈现出来并作适当的变形，题目就一目了然，具体简证如下。

策略2：分析几何背景优先

对于一些复杂的代数综合题，若优先考虑其几何特征，即便是大致的图形，也可利用几何直观性迅速找到解题的突破口。

案例三 已知a是给定的实常数，设函数f（x）＝（x-a）2（x＋b）e^x，x=a是f（x）的一个极大值点。

（1）求b的取值范围。

（2）设x1 x2 x3是f（x）的3个极值点，问是否存在实数b，可找到x4，使得x1，x2，x3，x4的某种排列xi1，xi2，xi3，xi4（其中｛i1，i2，i3，i4｝＝｛1 2 3 4｝）依次成等差数列？若存在，求所有的b及相应的x4；若不存在，说明理由。

分析 试题新颖别致，它令无数考生又痛又喜欢。绝大多数学生畏惧于形式化的数学表示和开放性的设问，但若能将函数的草图大致画出来，就能迅速求解。

点评 运用数形结合解题是十分重要的思想方法，但学生限于知识深广度的制约，对诸如f（x）＝1nx＋a/(x-1)，f（x）＝｜x-a｜＋lnx，f（x）＝（x-a）2*lnx等函数模型就难以勾勒其草图，影响解题。

策略3 观察特殊情形优先

有些含参数的综合题，往往需要分类讨论来求解，但不缩小参数的讨论范围，机械地逐类讨论，常常陷入繁难的境地，甚至于无法完成解题任务。然而，有时优先考虑特殊情形后，可缩小参数的讨论范围，大大降低解题难度。

案例四 已知函数f（x）＝x3＋λx2＋（2λ-3）x。设函数f（x）除零外还有两个不同的零点x1，x2（x1x2≠0，且x1＜x2）。若对任意的［x1，x2］内的x，

f（x）＞f（—4）恒成立，求实数λ的取值范围。

分析 从题型上看，本题属于函数恒成立问题。测试表明大多数解题者先求导找出极值点，然后分类讨论，设法求出函数在［x1，x2］上的最小值，再令该最小值大于f（—4）。此解法感觉上行得通，但实施时却难似上青天。若细细琢磨一下，发现本题若优先考虑特殊情形与内隐条件、几何意义后，可迎刃而解。

策略4 挖掘内隐条件优先

一道综合题常常内隐了许多的限制条件，需要解题者细心观察，如二次曲线上点的变化范围、三角函数的有界性、判别式的正负性等等，解题稍不留意就会出错。因此，解题时要优先考虑试题中的内隐条件，避免走弯路。

案例五 在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA＋sinC＝psinB，且ac＝1/4*b^2。若角B为锐角，求p的取值范围。

分析 本题内隐的条件有两个，一个是在“a，b，c能构成三角形”的前提下，“角B为锐角”等价于“cosB＞0”，也等价于“a2＋c2-b2＞0”；另一个在“sinA＋sinC＝psinB”又内隐了p＞0，实际考试时，绝大多数学生疏于隐含条件的挖掘，当命题通过正余弦定理转化成p2＝3/2＋1/2cosB，误认为cosB＞0或p为实数致错。

策略5 命题转换优先

有些数学综合题从表面形式来看，难以发现其本质，乍看无从入手，但通过换元引参，改变题目的呈现方式，题目就化归为平时熟悉的问题，解题思路也就一目了然。

案例六 已知a，b都是不为零的常数，变量θ满足不等式组asinθ＋bcosθ≥0，acosθ-bsinθ≥0，试求sinθ的最大值。

分析 令cosθ＝x，sinθ＝y，将原命题等价转换成一个线性规划问题。即若ay＋bx≥0，ax-by≥0，x2＋y2＝1（a，b都是不为零的常数），求y的最大值。

策略6 目标分析优先

对照目标解题，是宏观上的引领，解题方向的把握，有些综合题只要根据总目标，选择适当的方法和途径，将已知条件进行优化组合与变形、化简与整理，就能不断向题设目标接近，从而实现解题。

案例七 若有且仅有一个正方形，其四个顶点均在曲线y＝x3＋ax上，求实

数a的值及此正方形的面积。

分析 本题的解题目标是求一个实数a，使曲线y＝x3＋ax上存在四个顶点均在曲线上的正方形，而且是唯一的。设正方形的四个顶点依次为A，B，C，D，则正方形ABCD的中心为原点，否则，由于曲线y＝x3＋ax为奇函数，因此，A，B，C，D关于原点的对称点A＇，B＇，C＇，D＇也在此曲线上，且四边形A＇B＇C＇D＇也是正方形，与题设矛盾。

不妨设直线OA为y＝kx（k＞0，点A在第一象限），代入y＝x3＋ax解得A的横坐标。同样方法，解得B的横坐标。由｜OA｜＝｜OB｜即可得解。

作者简介

刘蒋巍，代表作品《2018年自主招生模拟试题及解答》、《高中联赛经典题讲解(江苏预赛) 》、《抽屉原理——江苏高中数学复赛系列课程》、《数学压轴题的特征、破解之道及训练方法》、《命题人讲座：高考题是怎么出的(导数)》、《命题人讲座：高考题是怎么出的(圆锥曲线) 》、《高考题数学是怎么出的——以三角、向量为例》、《高等数学背景下的高考数学命题研究》、《高考数学题出题背景——数列的子列问题》、

《新高考数学极值点偏移压轴题出题背景及命题推广 》、《2021高三八省联考数学卷的导向性分析及数学关键能力的培养》、《新高考：以幂级数为背景的高考题》、《江苏高考数学真题讲析 》、《上海11年高考数学命题趋势研究(2010~2020)》、《2018年江苏高考数学命题的核心素养分析》、《2017年江苏高考数学分析报告》、《2016江苏高考数学填空题的命制、改编及解法探究》、《一道高中数学联赛模拟题的命制与解析》、

《2021年南京师范大学转专业考试仿真练习(命题人：刘蒋巍)》、《高等数学<函数与极限、导数的概念>测试(命题人：刘蒋巍) 》、《一道考研数学题的源与流》、《一道考研数学题的命题研究》、《一道积分不等式的命题研究——演绎深化 逆推生成》等300余部。